極座標、極方程式につきまして 再々

すみません。どうしてもこのテーマが納得できません。些細な話なきがするのですが、

納得出来ない理由は、極方程式では負の動経を認める事がある。この一点です。

調べたところ、極方程式においては（極座標ではない）、1動経rが負になることを認める立場と、2認めない立場があり、自分がどちらの立場なのかをはじめに明確にしないといけないようでした。（正確な言い回しでなければ、ご容赦下さい）

一方で、極座標においては、動経rは０以上である。それが、極座標の定義である。

矛盾しないように考えますと、以下のようになりました。

1,2どちらの立場であろうが、極座標を使って極方程式を求める。曲線上の動点PをP(r,θ)とおく

ここで、極座標を使う以上は、1,2のどちらの立場によらず、そもそもの極座標の定義よりr>=0であり、これは極からの距離そのものなので、距離OP(>=0)に対して、OP=rとおける。
当然、幾何学的な距離なので、図形的にrとθの関係を求めて構わない。

つまり、どちらの立場によらず、極方程式を求める過程においては、r>=0と考える。これは極座標を使うので、その定義でr>=0とされていることが根拠になる。

そして、求まった極方程式に対して解釈する時に、1の立場だと負の動経rの解釈として（r,θ）=(-r, θ+π)を認めて図形として無理やり解釈する。（これをなんちゃって極座標、極方程式のように言われてるのでしょうか？）

2の立場だと、r<0のθの区間では点が存在しない。普通の距離>=0に矛盾しない解釈をする。
r=±√のように式が二本出るなら、-√の方はr>=0と考えて棄却する。（この式においても、r=0だけは許される気がしますが、+の方にも含まれるので-の式は丸ごと棄却してると考えていいのかな？）

こういう考え方でしょうか？

本来、r>=0で定義したものについて、1の立場だと解釈を拡張する訳ですが、これがよく分かりませんでした。
よくよく考えると、上のように導出過程までは1,2のどちらの立場によらずr>=0で考えるのかな？と気づきました。なので当然、幾何学的な距離（>=0）そのものを表す。

立場の違いは、求まった極方程式を図形として解釈する時に初めて出てくる（上にまとめた通り）。

詳しい人、教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  そこなんですよ。r>=0で図形的に解いてるものを、後付で負の解釈を認める、という話がどうしても引っかかってしまう。
  
  参考書によっては、図形的に求めといて、下半分のグラフはr<0の区間が現れるみたいなこと書かれてて（すみません、正確な言い回しではないかも知れない。）きっちり知りたいと思ってドツボにハマってしまいました。
  
  r>=0と理解します。具体的な解き方ですが、
  
  動点の極座標をP(r,θ)　r>=0とおいて極からの距離OP（>=0）をOP=rとおいて余弦定理などで図形的に解く。
  
  出てきた極方程式にr<0の区間があれば、そこはr>=0に反するから存在しないとする。
  ±√のように二本出てきてら同様にr>=0を満たす+の方のみを採用する。
  こういう理解でいいでしょうか？
  
  冒頭の動点をP(r,θ)と置くときにr>=0は明示的に併記したほうが良いでしょうか？
  
  これで閉じます。すみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/20 09:42

• 

  すみません。前回の補足の中段以降の、r>=0に限った考え方について、ご意見願えませんか？
  
  詳しい方なら、他の方もよろしくお願いします。私もこの問題早く解決したいんですが、聞ける人がいないのです。正確に理解して次に進みたく思ってます。間違いがあるなら、それでも構わないので、アドバイス願えませんか？
  
  よろしくお願いします。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/20 22:34

• 

  r>=0に限定すれば、難しいはなしではなさそうですね。
  
  考察した、Noへの補足（中断）で良さそうですね。ここの講義を聞きそびれた形になってしまい、本を読んでも負の動経が曖昧で困ってました。勉強になりました。
  
  ちなみに、r>=0の併記の話に対するコメントいただきましたが、当然2つ考えがあると言われましたのは、r>=0のみで極方程式を考える場合と、r<0を認める場合の2つのことですよね？（念のため）
  
  以下は、もし、可能でしたらお願いできないでしょうか？
  
  今回（再々）の初稿で質問させていただきましたr<0の考え方について、どこがまずいのかご指摘願えないでしょうか？
  
  r>=0の考え方は、お返事で理解できたと思われます。
  
  私にとって、何だか大きな壁の一つになってしまったようです。→負の動経rの扱いについて。
  
  しかし、お返事の後半の補足も勉強になりました。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/21 00:09

• 

  r<0を認める場合について、再考させていただきますと、r>=0として幾何的に解いたあとに、求まった極方程式のr<0の部分を(r, θ)=(-r, θ+π)と解釈する。と書いてました。
  
  これは、r>=0で表したい曲線の部分と、r<0で表したい部分に分けて考える。前者は先程のご確認のとおり解けば良い。後者につきましては、-r>(=も必要に応じて)0を距離と考えて、OP=-r>=0と置く。θは、θ+πと考える。後はr>=0と同様に幾何的に解く。
  そして、両者の式を必要に応じて一つにまとめる。（r>=0でもとまった極方程式について、r<0の範囲を(r, θ)=(-r, θ+π)のルールの下で解釈して、-r>=0を距離OPとして求めた極方程式を表すなら、前者に統合される。
  このように考えるのが、正確かな？と思いました。
  この場合は動点PをP(r, θ)と置く。ⅰr>=0の場合
  ⅱr<0の場合→続き

    補足日時：2020/09/21 00:23

• 

  のような全体構成にして、各々幾何的に解いて最後に一つにまとまるならまとめる。
  
  当然、ⅰとⅱでrは実数全体を動くので、P(r,θ)とおいたときにr>=0は併記不要。
  
  このように再考しました。可能でしたらご意見願えませんか？よろしくお願いします。

    補足日時：2020/09/21 00:26

• すみません。00:23分の冒頭の書き出しですが、再考する前の、今回の初回の考え方を再度書いたものです。次の段落からが、再考した内容になります。
  
  字数制限に気を取られて、少し書きにくかったのです。すみません。

    補足日時：2020/09/21 00:30

• 何となくおっしゃってる事が理解できたような気がします。
  
  入れ違いになりましたが、再考した考え方を投稿させていただきました。
  
  可能なら、一読下さい。
  （おそらく、負の動経rを、認めるとしたら式の数が一つで済む。あるいは、図形によっては認めないと一部が存在しない扱いになってしまう。などのケースということですかね。そうでないなら、r>=0で考察すれば十分だし、わかりやすい気がします。）

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/21 00:45

• この御回答も、すごく勉強になりました。
  
  つまりのところ、私の今回の一番初回の回答ですが、
  極座標をP(r, θ)とおいた時点で、r>=0は本来含まれるので、書いても書かなくても、そのように解釈されるべき。
  そして、とにかくr>=0なんだから、距離OPとして、使える。幾何的に極方程式を求める。
  
  それに対して、極方程式のr<0の部分は、本当ならr>=0に反するんだから矛盾そのもの。なので、そこは存在しない（区間の一部だろうが、±求まった-側だろうが。）が数学的には正解。
  しかし、悪習でなぜかそこを（r, θ）=(-r, θ+π)として図形の一部として後付の解釈することがまかり通ってる。（参考書もそうですよね？）
  なので、渋々この矛盾そのものも、許容する。（推奨ではない。）
  距離なのに負？とか、負に解釈される量を幾何的な距離に解釈して、導出したことになる？
  と誤解を招く。→続き

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/21 01:22

• しかし、あくまでも回答でやってることは、極座標の動経rは、r>=0で距離なんだから、それをOP=rとして幾何的に計算しただけ。なんの問題もない。後は求まった結果の矛盾してる部分をを、なぜか図形として解釈。
  
  と言うことですね。ところで、このなんちゃって解釈（負の動経の解釈）を認める場合、はじめに動点PをP(r, θ)と置く場合、r>=0は明記しない方が良さそうですかね？あってもなくてもr>=0であり、それを根拠にOP=r〜幾何的に解く、とやってるわけですが、見る人がそこまで理解してない場合、求まった結果を負の動経解釈するところで、r>=0と置いてることに反するじゃないか？と来られるような気がしたのですが。
  
  もちろん、きちんと、矛盾を無理やり解釈してるだけだと知ってる人はr>=0は極方程式の導出計算に使われてるので書いても書かなくても問題ないはずでしょうが。
  
  どう思われます？

    補足日時：2020/09/21 01:34

• すみません。そういうわけではありません。
  きちんとお読みしました。
  
  それを踏まえての質問のつもりでした。
  といいますのは、r<0の解釈を、r>=0として求めた極方程式に対して行うのを前提とした場合（もちろん非推奨）、r>=0で極方程式を導出してることに変わり無いわけだから、これを明示しようがしまいが関係ないのは理解しました。
  
  その後の、r<0という矛盾を無理やり図形解釈する場合に、はじめにr>=0と明記してたら、突っ込んで来る人いないのかな？と不安になったのです。
  
  この場合も、r>=0は、はじめに念のため書いといた方がいいということですね。
  つまり、p(r,θ), r>=0と書いて、、OP=r>=0として極方程式を求めた事を明示。
  後は求まった極方程式に対して、r<0という矛盾を図形的に無理やり解釈しただけだ。
  というスタイルを取ると言うことですね？
  
  誤解招き、すみません。

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/09/21 01:58

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/21 01:00

＞ そこなんですよ。

r>=0で図形的に解いてるものを、
＞ 後付で負の解釈を認める、という話がどうしても引っかかってしまう。

それは、正しい感覚だと思います。

r < 0 も許容する式を「極方程式」と呼んでしまう
極方程式という用語の誤用を含む慣行は、
正論から言えば間違いでしかないが
事実わりと広く使われている悪しき業界慣行です。
正直やめておいたほうがいい。

でも、他人が使ってしまったとき、やや苦々しく思いながらも
理解できる素養は必要なんですよね。
まあそれだけのものです。

＞ 出てきた極方程式にr<0の区間があれば、そこはr>=0に反するから存在しないとする。
＞ ±√のように二本出てきてら同様にr>=0を満たす+の方のみを採用する。
＞ こういう理解でいいでしょうか？

自分では、そのようにしたほうがよいのです。
でも、他人が r < 0 のなんちゃって極方程式を使ってしまったとき、
気持ち的には批判したとしたも、話の内容は理解できる素養は必要です。

＞ 冒頭の動点をP(r,θ)と置くときにr>=0は明示的に併記したほうが良いでしょうか？

個人的には、「極方程式」と呼びさえすれば
r ≧ 0 は自明だろ？ という気持ちなのですが、それが
世間で通用するかといえば、はなはだ不安です。
世の中には、用語を大切にしない輩が少なくありません。
r ≧ 0 を明示したほうが「良い」と言うのは腹立たしいのだけれど、
それは個人の感情です。明示したほうが無難なのは間違いないと思います。

繰り返しになりますが、ただひとつ理解して欲しいのは、
r ≧ 0 を前提に立てた式を r < 0 も許容して解釈するのは
拡張なんて格好のよいものではなく、単なる不適解の除去しそこね
に過ぎない...誤答だということです。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/21 01:42

＞ はじめに動点PをP(r, θ)と置く場合、r>=0は明記しない方が良さそうですかね？

それ、既に No.7 に書いたから。
　↓
個人的には、「極方程式」と呼びさえすれば
r ≧ 0 は自明だろ？ という気持ちなのですが、それが
世間で通用するかといえば、はなはだ不安です。
世の中には、用語を大切にしない輩が少なくありません。
r ≧ 0 を明示したほうが「良い」と言うのは腹立たしいのだけれど、
それは個人の感情です。明示したほうが無難なのは間違いないと思います。

回答を読まずに補足を書いているの？

No.6 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/21 00:35

>ちなみに、r>=0の併記の話に対するコメントいただきましたが、当然2つ考えがあると言われましたのは、r>=0のみで極方程式を考える場合と、r<0を認める場合の2つのことですよね？（念のため）

その通り。

>今回（再々）の初稿で質問させていただきましたr<0の考え方について、どこがまずいのかご指摘願えないでしょうか？

まずいというより、混乱が生じ手間が増えるというほうが適切かな。
例を簡単にするために、2次元ユークリッド空間（平面）を考える。

動径についてr<0を考慮する極座標だと、極座標から直交座標へ変換した際、第2象限、第3象限、第4象限の負の座標は動径の符号と、偏角の角度の両方からで導出しないといけなくなる。
具体的には、ます動径が正か負かを決める必要があり、動径が負の場合、偏角の角度を動径の符号に合わせて補正しないと、正しい直交座標変換ができない。

動径についてr≧0の制限がついた極座標だと、極座標から直交座標へ変換した際の第2象限、第3象限、第4象限の負の座標は、偏角の角度のみで決めることができるため、直交座標変換が容易に行える。

極座標系においても、動径にr<0を考慮する極座標だと、極方程式（特に直線）の表現がもっと面倒になる。

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/20 23:54

>すみません。

前回の補足の中段以降の、r>=0に限った考え方について、ご意見願えませんか？

これは上にあるNo.1の回答に寄せられた補足コメントのことを指しているのかな？
それであれば、

>動点の極座標をP(r,θ)　r>=0とおいて極からの距離OP（>=0）をOP=rとおいて余弦定理などで図形的に解く。
>出てきた極方程式にr<0の区間があれば、そこはr>=0に反するから存在しないとする。
>±√のように二本出てきてら同様にr>=0を満たす+の方のみを採用する。
>こういう理解でいいでしょうか？

上記の理解で合っている。

>冒頭の動点をP(r,θ)と置くときにr>=0は明示的に併記したほうが良いでしょうか？

考え方が複数ある以上、動径rはr≧0は明記しておいたほうが無難。

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少々難しい話をすると、極座標とは、n次元ユークリッド空間R[n]において、1個の動径rとn-1個の偏角θ[1]～θ[n-1]で表現する方式。
次元が増えるごとに偏角θが増えるが動径rは1つ固定になる。
なので、どの向きかを定めるのは、変数が多い偏角のほう自由度を持たせたほうが取り扱いがしやすい。
動径rは、偏角θが定めた向きにおいて、ある点を0としたときの目標座標までの距離に相当する。
つまり、目標座標の向きを決めるのが偏角θで、目標座標までの直線距離を決めるのが動径となるため、動径にr≧0の条件がつくのは必然といえる。

r<0を考慮する考え方は、動径にも向きの概念を与えることと同義である。
しかし、n次元あろうと、動径は先に示した通り1つしかないので、1次元分の情報しか持てず、前を向くか後ろを向くかの2択しかない。
仮に、前をr>0、後ろをr<0とすると、動径がr<0の場合、それに関係する次元の偏角の角度は180°（π）までに制限される。
動径がr<0で偏角が180°に限定されても、極座標として表すことに矛盾は生じない。よって、r<0での極座標系を否定することはできない。

ただし、r<0を導入すると、その方向に関係する偏角の一部の角度が制約される上に、制約をうけた偏角の0となる基準位置がr>0とr<0で変わる。
あるいは、制約をうけた偏角の0となる基準位置はそのままで、180°回転したと考えなければならない。
このような動径rがr<0を考慮することで、偏角θの範囲または考え方が変わるのは間違いを生みやすい。

よって、動径rにr<0を含める極座標定義は、手間と制約が増えるため、r<0を考慮したほうが解きやすい問題以外では使われる機会は多くないと思う。

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/20 09:30

極座標は、動経rを全ての実数、θを（便宜上）0≦θ≦πに限定する表現の仕方も可能。

ただ、直交座標⇔極座標の変換を考慮すると、動経rはr≧0とする定義のほうが扱いやすい。

動経rを全ての実数、θを（便宜上）0≦θ<2πと表現の仕方も可能だけど、ややこしくなるだけ。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/20 08:36

動経ｒは常に ≧0 である。

続き

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/20 08:35

動経ｒは常に ≧0 である。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/20 07:49

このネタ、まだ引っぱってるの？

こだわる部分があるような話には思えないけど。

「極方程式」という言葉の意味は、
極座標における座標成分間の方程式のこと。
極座標の定義から、動経は ≧0 である。

極座標における座標成分間の方程式ではないが、
ふたつの実数 r, θ を用いて x = r cosθ,
y = r sinθ で直交座標上の点 (x,y) を表す式を
r < 0 であっても極方程式と呼んでしまうことはある。
これは「極方程式」という言葉の
誤用でしかないが、しばしば行われている。

式を立てるとき r ≧ 0 を前提として立てたならば、
得られた式は r ≧ 0 として解釈しなければならない。
r < 0 も許容する式は、r < 0 である可能性もある
ことを前提に立てなければならない。

r ≧ 0 を前提として立てた式を r < 0 も許容して解釈すれば、
意図した図形には含まれない点も含む式が得られる可能性がある。
「不適解を含む」といえば解りやすいのだろうか？

それだけのことだ。