極座標での負の概念が分かりません

「原点Oを中心とする半径1の円周Cがxy平面上にある。
この平面上の点P(P≠O)からx軸に下ろして垂線の足をQ,
直線OPとCとの交点のうち、近い方の点をRとする。
(1)点Pを極座標(r,θ)として、線分PRの長さをr,θを用いて表せ。」
という問題の答えにPR=｜r-1｜とあるのですが、
なぜ｜｜r｜-1｜で無いのか分かりません。
極座標なのでr<0のときはCとの交点のうちの遠い方の点との長さを
指してしまうんじゃないんでしょうか？
r<0のときは(-r,θ)=(r,θ+π)で考えられると言われましたが、いまいち納得出来ません。
r<0は考えなくていいんですか？
教えてください。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： masics 回答日時： 2013/02/25 09:57

捕捉に対する回答

　まずr<0の問題があるということですが，これはおそらく「r<0とすると都合が悪い」ことの例を示しているのではないでしょうか．

>平面上においてはr≧0と定義してしまって構わないのでしょうか？
　はい，そう定義するのが主流です．ちなみに三次元には球座標，さらにn次元にはn次元球座標が存在しますが，そのときもr≧0とすることが多いです．

>もしそうでしたらその際に正と定義することを言う必要はありますか？
　いったほうが丁寧ですが，受験などにおいては常識となっているので言わなくても大丈夫な気がします．

この回答へのお礼

理解しました。
まだ極座標をよく理解できてませんでした。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/02/25 21:53

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/24 23:53

極座標で r＜0 となる表示を許してしまうと、

質問文に貴方自身が書いているように、
1 個の点に対して (r,θ) と (-r,θ+π) の
2 とおりの表示ができてしまいます。
それは混乱のもとなので、点と座標が一対一に
なるように、r≧0 だけに制限してあるのです。
(それでもまだ、原点に問題は残るんですが。)

ともあれ、r が極座標の動経であれば、
r≧0 は決まっているので、
｜r-1｜ と ｜｜r｜-1｜ は、同じ式です。
心配しなくても、貴方が r＜0 として求めた点は、
ちゃんと r＞0 の表示でも出てきますよ。

この回答へのお礼

他の回答者様と合わせて理解出来ました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/25 21:55

No.2 回答者： masics 回答日時： 2013/02/24 23:33

θが0以上2piより小さいとして極座標(r,θ)でrが負を許してしまうと例えば(x,y)=(-1,0)という座標を表現する際に(r

(1,pi)と二通りの方法があり,一意的でなくなってしまうから，一意的にするためにrは正と定義するのだと思います．

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>一意的にするためにrは正と定義する
のであれば平面上においてはr≧0と定義してしまって構わないのでしょうか？
もしそうでしたらその際に正と定義することを言う必要はありますか？

補足日時：2013/02/24 23:56

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/02/24 23:30

極座標では普通 r は原点からの距離だから r >= 0 ですよ。

向きはθに任せましょう。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
教科書には極からの長さと定義されていたのですが、それにも関わらずrが負をとりうる、とあるのは(その教科書でも他の問いでr<0について確認してました)なぜなのでしょうか？

補足日時：2013/02/24 23:57