対数螺旋の方程式と書き方について

こんにちは。
対数螺旋について調べているのですが、対数螺旋の曲座標の方程式はよく出てくるのですが、X-Y座標の方程式はあまりでてきません。X-Y座標の方程式というのはないのでしょうか？あるのなら、その方程式の意味まで教えていただけると助かります。
またExcelを使って対数螺旋を書くやり方があれば、教えてください。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： inara 回答日時： 2007/11/09 22:26

ANo.2 です。

訂正します。
【誤】　x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = c --- (1)
【正】　x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = ( a^θ )*sinθ --- (1)

No.2 回答者： inara 回答日時： 2007/11/09 22:24

対数螺旋とは、極座標表示で以下のものでしょうか。

　　　r = a^θ　（ a > 1 )
これを xy 座標に変換するには
　　　x = r*cosθ、y = r*sinθ
という関係を使えば
　　　x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = c --- (1)
なので、a と θ の値を与えれば、x と y の値が計算できます（Excel でグラフを描くことができます）。ただし θ の単位は、度でなく ラジアン（180度 = πラジアン）です。

例えば、N回転分の対数螺旋を描くのであれば、θ の範囲は 0 ～ 2*π*N なので、まず、この範囲の数値を、Excel の A0から下に順次書き込みます（0、0.1、0.2 というように 0.1刻みで2*π*N までオートフィリングで書き込む）。a の値を仮に 1.1 とすれば、B0に =1.1^A0*cos(A0)、C0に = 1.1^A0*sin(A0) と書いて、これらを下の行全部にコピーすれば、B列が x 座標、C列が y 座標になります。この後、B列とC列を選択してグラフ（散布図）を描けば、対数螺旋のグラフとなります。

対数螺旋を、あえて x、y で表せば、式(1)から
　　tanθ = y/x、x^2 + y^2 = a^θ
なので
　　x^2 + y^2 = a^arctan(y/x)
という表し方になります（ arctan は tan の逆関数） 。でもこれは y = という形にはできないので、対数螺旋のグラフを描くには、式(1)のように、θ を媒介変数として、x = f(θ) = ( a^θ )*cosθ、y = g(θ) = ( a^θ )*cosθ として、x と y の値を使ってグラフを描くのが普通だと思います。

No.1 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2007/11/09 21:48

歯車の理論で、直交座標、極座標の他に、接線座標があり、接線座標は、曲線 Ｃ を表すのに、極 Ｏ と曲線上の任意の点 Ｐ を結んだ線分 ＯＰ＝ｒ（＞０）を動径とし、点 Ｐ における曲線の接線 ＰＴ と動径のなす角 Φ を用いて、曲線 Ｃ の方程式を

　ｒ＝f(Φ)

で表したとき、（ｒ，Φ）を点 Ｐ の接線座標と名づけ、動径 ｒ と接線のなす角 Φ が常に一定であるような曲線はいわゆる「対数らせん」であるから、接線座標による対数らせんの方程式は、

　Φ＝ｎ　（ｎ：一定）　・・・（１）

と云う簡単な形で表され、この方程式を直交座標および極座標で書くと、

点 Ｐ は、直交座標で（ｘ，ｙ）、極座標で（ｒ，θ）、接線座標では（ｒ，Φ）で表され、点 Ｐ における曲線の接線がｘ 軸の正の方向となす角を α とすれば、

　Φ＝α－θ　で、よって、

　tanΦ＝tan(α－θ)＝(tanα－tanθ)/(１＋tanα*tanθ)、　なお、tanα＝dy/dx、
　tanθ＝y/x　であるから、

　tanΦ＝(ｘdy－ｙdx)/(ｘdx＋ｙdy)

また、対数らせんは、式（１）で表されるから、

　tanΦ＝tanｎ＝１/ｍ　（ｍ：定数）、よって、

　(ｘdy－ｙdx)/(ｘdx＋ｙdy)＝１/ｍ、　これから、

　dy/dx＝(ｘ＋ｍｙ)/(ｍｘ－ｙ)＝{１＋ｍ(ｙ/ｘ)}/{ｍ－(ｙ/ｘ)}

上式は、一階微分方程式の同次形で、これを解くと、

　logｘ＝ｍ*tan^-1(ｙ/ｘ)－log(１＋ｙ^2/ｘ^2)^(1/2)＋logＣ

　∴　√(ｘ^2＋ｙ^2)＝ｅ^(logＣ)*ｅ^{m*tan-1(y/x)}

ここで、ｅ^(logＣ)＝Ｃ　であるから、求める直交座標による対数らせんの方程式は、

　√(ｘ^2＋ｙ^2)＝Ｃ*ｅ^{m*tan-1(y/x)}

つぎに極座標による方程式は、√(ｘ^2＋ｙ^2)＝す、　ｙ/ｘ＝tanθ　であるから、

　ｒ＝Ｃ*ｅ^(mθ)

で与えられ、普通、対数らせんはこの形で表しています。