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こんにちは。
対数螺旋について調べているのですが、対数螺旋の曲座標の方程式はよく出てくるのですが、X-Y座標の方程式はあまりでてきません。X-Y座標の方程式というのはないのでしょうか?あるのなら、その方程式の意味まで教えていただけると助かります。
またExcelを使って対数螺旋を書くやり方があれば、教えてください。
よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

ANo.2 です。


訂正します。
【誤】 x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = c --- (1)
【正】 x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = ( a^θ )*sinθ --- (1)
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対数螺旋とは、極座標表示で以下のものでしょうか。


   r = a^θ ( a > 1 )
これを xy 座標に変換するには
   x = r*cosθ、y = r*sinθ
という関係を使えば
   x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = c --- (1)
なので、a と θ の値を与えれば、x と y の値が計算できます(Excel でグラフを描くことができます)。ただし θ の単位は、度でなく ラジアン(180度 = πラジアン)です。

例えば、N回転分の対数螺旋を描くのであれば、θ の範囲は 0 ~ 2*π*N なので、まず、この範囲の数値を、Excel の A0から下に順次書き込みます(0、0.1、0.2 というように 0.1刻みで2*π*N までオートフィリングで書き込む)。a の値を仮に 1.1 とすれば、B0に =1.1^A0*cos(A0)、C0に = 1.1^A0*sin(A0) と書いて、これらを下の行全部にコピーすれば、B列が x 座標、C列が y 座標になります。この後、B列とC列を選択してグラフ(散布図)を描けば、対数螺旋のグラフとなります。

対数螺旋を、あえて x、y で表せば、式(1)から
  tanθ = y/x、x^2 + y^2 = a^θ
なので
  x^2 + y^2 = a^arctan(y/x)
という表し方になります( arctan は tan の逆関数) 。でもこれは y = という形にはできないので、対数螺旋のグラフを描くには、式(1)のように、θ を媒介変数として、x = f(θ) = ( a^θ )*cosθ、y = g(θ) = ( a^θ )*cosθ として、x と y の値を使ってグラフを描くのが普通だと思います。
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歯車の理論で、直交座標、極座標の他に、接線座標があり、接線座標は、曲線 C を表すのに、極 O と曲線上の任意の点 P を結んだ線分 OP=r(>0)を動径とし、点 P における曲線の接線 PT と動径のなす角 Φ を用いて、曲線 C の方程式を



 r=f(Φ)

で表したとき、(r,Φ)を点 P の接線座標と名づけ、動径 r と接線のなす角 Φ が常に一定であるような曲線はいわゆる「対数らせん」であるから、接線座標による対数らせんの方程式は、

 Φ=n (n:一定) ・・・(1)

と云う簡単な形で表され、この方程式を直交座標および極座標で書くと、

点 P は、直交座標で(x,y)、極座標で(r,θ)、接線座標では(r,Φ)で表され、点 P における曲線の接線がx 軸の正の方向となす角を α とすれば、

 Φ=α-θ で、よって、

 tanΦ=tan(α-θ)=(tanα-tanθ)/(1+tanα*tanθ)、 なお、tanα=dy/dx、
 tanθ=y/x であるから、

 tanΦ=(xdy-ydx)/(xdx+ydy)

また、対数らせんは、式(1)で表されるから、

 tanΦ=tann=1/m (m:定数)、よって、

 (xdy-ydx)/(xdx+ydy)=1/m、 これから、

 dy/dx=(x+my)/(mx-y)={1+m(y/x)}/{m-(y/x)}

上式は、一階微分方程式の同次形で、これを解くと、

 logx=m*tan^-1(y/x)-log(1+y^2/x^2)^(1/2)+logC

 ∴ √(x^2+y^2)=e^(logC)*e^{m*tan-1(y/x)}

ここで、e^(logC)=C であるから、求める直交座標による対数らせんの方程式は、

 √(x^2+y^2)=C*e^{m*tan-1(y/x)}

つぎに極座標による方程式は、√(x^2+y^2)=す、 y/x=tanθ であるから、

 r=C*e^(mθ)

で与えられ、普通、対数らせんはこの形で表しています。
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