数学1Aの問題です。 |x-6|=2x、2|x+4|<x+10、|x+4|-2|x|=2 の問題で、

数学1Aの問題です。
|x-6|=2x、2|x+4|<x+10、|x+4|-2|x|=2
の問題で、解の取り方？が違うので、
それぞれの違い？を解説して欲しいです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/21 16:57

わからない時は、絶対値の中身がプラスになる場合とマイナスになる場合とで場合分けが基本です

ただ、1つ目は　|X|=AならX=±Aが利用できます
これに従うと単純に　x-6=±2x
ただし　絶対値は０以上ですから　2x≧０⇔x≧０と言う条件が付きます
x-6=+2xより　x=-6 これは　x≧０に不適
x-6=-2xより　x=2 これは適
基本に沿って絶対値の中身で場合分けなら
x-6≧０（⇔x≧６）のとき絶対値を外すと
x-6=2x
x=-6・・・不適
x-6<0（⇔x<6)のとき　絶対値を外すにはマイナス1倍して
-(x-6)=2x
x=2　これは適
方程式なので、x=2というようなピンポイントな数値が解となります
2x≧０⇔x≧０のような付帯の条件を考量して答えの適・不適を判断することが必要です

2つ目も絶対値の中身の正負で場合分けが基本
基本に沿ってやるなら
x+4≧０（⇔x≧-4…①)のとき
2(x+4)<x+10⇔x<2…②
①が前提で、②の範囲が解なので①②の共通範囲が解となります
∴-4≦x<2
x+4<0のとき（⇔x<-4・・・③のとき）
2{-(x+4)}<x+10⇔-6<x…④
③④の共通範囲が解で　-6<x<-4
2つの解を統合して（共通範囲ではなく足し合わせ）
-6<x<2…（2つの解の範囲を足し合わせると-4部分が連結される）
または　|X|<A⇔-A<x<Aを利用することも可能です
2|x+4|<x+10⇔|x+4|<(x/2)+5
⇔-{(x/2)+5}<x+4<{(x/2)+5}・・・これは連立不等式
-{(x/2)+5}<x+4から
-9<3x/2
⇔-6<x
x+4<{(x/2)+5}から
x/2<1
⇔x<2
連立不等式の解の共通範囲をとって
-6<x<2
という具合です
方程式ではなく　不等式なので解もx=2のようなピンポイントではなく
-6<x<2というような幅を持ったものになります
（ちなみに不等式の解とは、不等式を満たすｘの値すべてのことで、
2番目の不等式を満たすものには　x=-5やx=-4,-3、・・・1などの他に
x=-5.9999～x=1.9999まで無数にあります　・・・試しに不等式にこれらの値を個別に代入してみてください
いずれの数値を代入しても不等式の＜、＞の向きと矛盾しないはずです
これらを解として１つ１つ列挙することは不可能なので、-6<x<2というような表記の仕方で不等式を満たす解のすべてを表しているのです）

３番目は１，２番目のような別解は考えづらいので
絶対値の中身のプラスマイナスで場合分けです
|x+4|の場合分けの境界線は　x=-4
|x|の境界線は x=0
ゆえに　-4<x…①
-4≦x<0…②
0≦ｘ　…③
という場合分けになります
①の範囲では|x+4|の中身　x+4がマイナスになるので　|x+4|=-x-4となり
②③では　|x+4|=x+4となる
①②の範囲では　|x|=-xとなり
③の範囲では|x|=xとなるところがポイントで、
|x+4|単独ならx<-4と-4≦ｘ　という２つの場合分けで済むところが
絶対値が2つあるので、場合分けが3つになってしまうところが面倒ですが、仕方のないことです。
（解放の詳細は、参考書の通りですから解は省略）