数学Aの組み合わせの問題で、正八角形と一辺あるいは二辺を共有する三角形の個数を求めよ、という問題のや

数学Aの組み合わせの問題で、正八角形と一辺あるいは二辺を共有する三角形の個数を求めよ、という問題のやり方を教えてほしいです。答えは40です。

No.1 ベストアンサー 回答者： ameriot 回答日時： 2023/04/02 17:30

まず、正八角形の内部にある三角形の個数を求めます。

正八角形の中心から、正八角形の頂点に向かって、線分を引きます。すると、内部に8つの三角形ができます。さらに、正八角形の各辺に平行に線分を引くと、1辺あたりに三等分されていることがわかります。つまり、各辺には2つの三角形が含まれます。よって、正八角形の内部には、8つの三角形と、各辺に2つずつの計16個の三角形があります。

次に、正八角形を2つ重ね合わせて、一辺を共有する三角形を考えます。正八角形を2つ重ねると、正十六角形ができます。正十六角形の内部には、前述のように24個の三角形が含まれます。しかし、正八角形の内部には、16個の三角形があるため、正八角形を共有する三角形の中には、重複するものがあります。重複しない三角形を数えるために、正八角形が真ん中にくる場合と、正八角形が端に来る場合で場合分けして計算します。

正八角形が中心に来る場合、正八角形の各辺と正十六角形の各辺の交点に三角形ができます。正八角形は8個あり、それぞれの内部に4つの三角形があるため、32個の三角形ができます。

正八角形が端に来る場合、正八角形の各辺を延長して、正十六角形の各辺と交点を求めます。正八角形は8個あり、各辺に2つの交点があるため、16個の交点があります。これらを組み合わせると、16個の三角形ができます。

以上を合計すると、内部に16個、正八角形を共有する場合に32個、正八角形を一辺だけ共有する場合に16個、合計64個の三角形があります。しかし、正八角形を二辺共有する場合は、正十六角形の上から正八角形が完全に覆われるため、重複する三角形はありません。よって、64個から重複分の24個を引いた40個となります。

No.2 回答者： zongai 回答日時： 2023/04/02 17:33

こちらに図付きの解答があるのでわかりやすいと思います。

二辺を共有する三角形
一辺を共有する三角形
の順に説明してありますが、答えの40に導けます。


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