数学の質問です。 abcはそれぞれ三角形の一辺である。 a²＋b²＋c²−ab-bc−ca＝0が成り

数学の質問です。

abcはそれぞれ三角形の一辺である。
a²＋b²＋c²−ab-bc−ca＝0が成り立つ時、この三角形の形を判断しなさい。

という問題なんですがこれってそもそも何から始めれば良いのでしょうか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/29 21:48

「式が対称だから正三角形」は、少し乱暴かなあと。

例えば、(a-b)²(b-c)²(c-a)² = 0 だったら、どうする？

あと、No.2 に誤字があった。冒頭、
両辺を2乗すると → 両辺を2倍すると

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/29 14:53

特別な 計算が必要で無かったら、

式を見て 気が付きませんか。
a, b, c が同じように並んでいる。
つまり a=b=c とすれば 成り立つ。
a=b=c の三角形は、正三角形。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/29 14:05

両辺を2乗すると

0 = 2(a²＋b²＋c²−abーbc−ca)
　= 2a²＋2b²＋2c²−2abー2bc−2ca
　= (a²−2ab＋b²)＋(b²ー2bc＋c²)＋(c²−2ca＋a²)
　= (a-b)²＋(b-c)²＋(c-a)²
となって、
(a-b)²≧0, (b-c)²≧0, (c-a)²≧0 より
(a-b)² = 0, (b-c)² = 0, (c-a)² = 0.
すなわち
a-b = 0, b-c = 0, c-a = 0
となるのは、解る？
a = b = c は、正三角形だよね。

何から始めてこの変形を思いついたのかは、
聞かれても困るというか、
式を見て何となく思いつくんだけれど。
あえて言えば、2次式の取り扱いに
普段から慣れておくことかな。
平方完成を見つけて式を整理するのは
2次式の基本といえば基本だから。

No.1 回答者： mukaiyamo 回答日時： 2022/10/29 13:02

＞a²＋b²＋c²…

これは、それぞれの辺に接する正方形の面積が 3 つ。

＞ab…

a を底辺、b を高さとする長方形の面積。
bc、ca も同じ。

あとは自分で考えてね。