複素数αのn乗根がn個あることの証明ってどうやるのですか？

複素数αのn乗根がn個あることの証明ってどうやるのですか？

No.2 回答者： cage64 回答日時： 2020/07/16 19:29

複素数のオイラーの公式： e^(it)=cos(t)+isin(t) は既知とします。

これにより、1のn乗根として、複素数の範囲で、（少なくとも）a[k]=e^(i*2πk/n) (k=1,2,..,n)という（異なる）n個があるとわかります。

複素数α≠0について、極座標で α=r*e^(iθ) (rは正の実数）とすれば、a=r^(1/n)*e^(iθ/n) はαのn乗根の１つです。
よって、x[k]=a*a[k] と置くと、x[k]^n=a^n*a[k]^n=α*1=αです。
a[k]はすべて異なるので、aとの積であるx[k]もすべて異なります。以上より、αには少なくともn個のn乗根があることがわかりました。
これ以上ないことは No.1さんのおっしゃる通りです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/16 13:58

代数学の基本定理と因数定理によって、

z の多項式 f(z) = z^ｎ - α は、z の一次式 n 個の積で書ける。
f(z) = f’(z) = 0 すなわち z^ｎ - α = n z^(n-1) = 0 となる z は
α = 0 のときのみ存在し、そのとき z = 0 である。
よって、α ≠ 0 であれば、f(z) = 0 に重解は存在しない。
上記の n 個の一次式は皆異なる根を持つことになり、
z^n = α の解は n 個である。