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大,中,小3個のさいころを投げるとき,目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。
全体から[目の積が奇数の場合]+[目の積が偶数で4の倍数でない場合]を引けば答えが出るのは、つまり4の倍数にならない場合を引けば4の倍数になる場合が残るのからというのは理解できるんですけど、どういう場合が4の倍数にならないのかを考える方法がわかりません。

gooドクター

A 回答 (7件)

4の倍数にならない場合



[1] 目の積が奇数の場合
3個のさいころのうち1つでも偶数があると、その目の積は偶数になってしまうので、3個とも奇数の場合を求めます。樹形図をかくとわかりやすいと思いますが、大のさいころの目は、1か3か5の3通り。その1つ1つに対して、中のさいころの目は、1か3か5の3通り。大と中の組合せは、3×3=9(通り)。その9通りの1つ1つに対して、小のさいころの目は、1か3か5の3通り。よって、3個とも奇数の組合せは、9×3=27(通り)です。

[2] 目の積が偶数で4の倍数でない場合
3個のさいころのうち1つでも偶数があると、その目の積は偶数になりますが、偶数が2つ以上になると4の倍数になってしまいます。よって、偶数は1つだけで、残りの2個は奇数です。ただし、偶数が4の場合は、1つだけでも4の倍数になってしまうので、偶数は2か6のどちらか1つで、残りの2個は奇数の場合を求めます。

①偶数が2の場合
これも樹形図をかくと分かりやすいと思います。大のさいころの目を2とします。そのときに、中のさいころの目は、1か3か5の3通り。この大と中の組合せ3通りの1つ1つに対して、小のさいころの目は、1か3か5の3通り。よって、大中小の組合せは、3×3=9(通り)です。
中のさいころの目が2の場合も9通り。小のさいころの目が2の場合も9通り。
よって、全部で、9×3=27(通り)です。

②偶数が6の場合
偶数が2の場合と同様に考えられますので、27通りです。

[1] , [2] より、4の倍数にならない場合は、27×3=81(通り)です。
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自分でどんな組み合わせがあるかを書き出そう。


でもって、その組み合わせの中から規則性を見つけるんだ。
この手の問題は、その「規則性」を見つけることが重要。
誰かにその「規則性」を教えてもらって分かったつもりになっちゃうと、似たような問題を自力で解くことができなくなるよ。

たかだか
 「6×6×6」
の組み合わせだ。
紙に書いてそれを眺めてみよう。

・・・
あと、「素因数分解」を理解していると考え方が簡単になる。
サクッと問題を解いてしまう人のほとんどはこれができているはずだ。
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全部4→1通り


2個が4で一個が4以外→3×5=15
1個が4で二個が4以外→3×25=75
3個が2か6→2^3=8通り
2個が2か6で一個が奇数→3×2^2×3=36

全部足して135通り。
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4の倍数=偶数x偶数x●


4の倍数=4x〇x〇
ですから
偶数で4の倍数とならないものは 2または6の目が1つだけ含まれる場合
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・目の積が奇数の場合、つまり、全部奇数の場合:大中小が、それぞれ、「1か3か5」だから、3×3×3=27通り


・目の積が偶数だけど、4の倍数ではない場合:大中小のうち、1つが「2か6」で、残りの2つが「1か3か5」だから、
 「2か6が出るさいころの選び方=3通り」×「2か6の選び方=2通り」×「残りの2つの1か3か5の選び方=3×3通り」=54通り

以上を合計して27+54=81通り。

全部で6×6×6=216通りだから、求める場合の数は、216-81=135通り。
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>どういう場合が4の倍数にならないのか



少しだけ頭を働かせれば分かりますよ。

・3つとも奇数のとき
または
・1つだけ「4」以外の偶数(つまり「2」か「6」)

ということですね。
偶数が2つ以上あったら「2 × 2 =4」の倍数になるし、「4」そのものがあっても「4の倍数」になるし。
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4の倍数にならない時は、


「偶数が一つだけで、なおかつ4以外の時」ですね。
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