2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分＝傾き＝tanθ＝dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分＝傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き＝tanθ＝dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

No.3 ベストアンサー 回答者： anisakis 回答日時： 2011/02/11 20:18

表記の仕方ですか？

dy/dxは　
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
＃2の方の回答でなんとなくわかり
こちらの回答

>dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2

で解決しました。
そうです、こういう説明がテキストとかにはない！
微分の説明までは例え話なんかでお子様にもわかるように砕いて砕いて
何ページもかけて説明してあるのですが、必ず二階微分へは解説なしに一気に入ります。
たぶんそれは頭のいい人が執筆するからでついてこれてると思っているのでしょうね。
凡人がなぜ理解できないのかがわからないんだと思います。

お礼日時：2011/02/12 00:38

No.5 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/02/14 20:09

　もう答えは出てると思いますので、これは回答ではありませんが、#1さんへのお礼を見て気になったので、書きます。

　#1さんの応えは、質問の意に沿ったものではないと、自分が見ても思えますが、#1さんも#2さんも、結局は同じ事を言ってると、わかった後では何となく思いませんか？。#1さんは本当に、回答のような説明を見て、納得したのかも知れません。納得の仕方は、人それぞれです。なので、

＞頭が良すぎて凡人のことがわからないのか？
＞それとも凡人にもわかるような頭を持ち合わせていないのか？
＞たぶん私が凡人以下なのでしょう（笑）

は違うと思います。あるとすれば、#2さんのような考えを、生まれつき即座に出来るかどうかの違いで、これは頭の良し悪しとは、全然関係ないと思います。得意か不得意かの違いです。

　応答が自分の意にそぐわないようなものであれば、「そういう事を聞きたいのじゃない」「こういう事を聞きたいのだ」と、補足に書けば良いだけの話です。

　自分も数学や物理に関しては、即座に出来ない方なので、あのようなお礼を書きたくなる気持ちもわかりますが、公共の掲示板である限り、回答者の真意は本当はわからない訳で、回答には誠実に対応すべきだと思います。

　なので、#4さんの回答も吟味してみて下さい。吟味できるのは、あなただけです。


　最後に自分の意見を言うと（今までも言ってますね）、数学全般の癖として、極端に言葉を切り詰める傾向があります。「ここまで読んだ人なら、言わなくてもわかるだろう」というわけです。自分も、「この記述はあんまりじゃないか？」と思える事態は、数え切れないほどおぼえています。そこで最近は、「数学的記述は、じつは常識的に判断した方が良いのだ」と思うようになりました。それが、#2さんのような発想に、つながると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
解決してほったらかしでした。

>回答には誠実に対応すべきだと思います。

すみません,仰るとおりです。
頭のいい人から馬鹿にされたような気分になってつい・・・

お礼日時：2011/02/17 22:02

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2011/02/12 03:39

こんにちは。

ある物体が一定ではない速度で進んでいるとします。何階と何階で止まるか予想できないエレベーターに乗ったときのような感じです。

物体の位置（物体が進んだ距離）をｘ
時刻（スタートからの時間）をｔ
と置きます。

ｘをｔで１回微分すると、速度（ｖ）になります。
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ
横軸をｔ、縦軸をｘ　としてグラフを描くと、そのグラフにおける　tanθ　は　ｖ　を意味します。

ｖをｔで１回微分（ｘをｔで２回微分）すると、加速度（ａ）になります。
ａ　＝　ｄｖ／ｄｔ　＝　ｄ（ｄｘ／ｄｔ）／ｄｔ
しかし、ｄ（ｄｘ／ｄｔ）／ｄｔ　という表記をする習慣がないので、
ａ　＝　ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2
と書きます。
横軸をｔ、縦軸をｖ　としてグラフを描くと、そのグラフにおける　tanθ　は　ａ　を意味します。

１回微分を　ｄｘ／ｄｔ　と書くなら、２階微分を　（ｄｘ／ｄｔ）^2　と書きゃあいいじゃねえか、と言いたくなりますが、
ｄｘ／ｄｔ　＝　ｖ
（ｄｘ／ｄｔ）^2　＝　ｖ^2
なので、
ａ　＝　ｖ^2
という、変な物理法則が誕生してしまいます。

微分を最初習うときって、ｙ’というふうに、ダッシュ記号で表すじゃないですか。
二階微分だったら、ｙ’’です。
大学の力学では、文字の上に点（・）を１回打てば、時刻で１回微分したことを表す、という約束を習います。
ですけど、一般的に、ダッシュや点だけだと、「何で微分したのか」がわかりません。
ですから、ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　と書けば、ｘ　という主人公を　ｔ　で２回微分したのだな、ということが明確になります。
それがメリットです。

実は、もう一つ、ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　と書くことの大きなメリットがあります。
それは、これです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97% …
「ｄ」ではなく「∂」という記号（偏微分を表す）が用いられていますが、それは気にしないでください。
式を見ると、二階微分の記号（たとえば　∂^2／∂ｘ^2）が、二階微分されるものの記号と分離して‘一人歩き’しているように見えますよね。
そして、∇記号の２乗とか、Δ記号とかが書かれていますが、それは、微分される主役をさておいて、∂^2／∂ｘ^2　などの記号だけを‘無礼’にもまとめて略して記号化したものです。
そういう‘一人歩き’の記号を使うと、物理法則などの式が見やすく、すっきりします。
たぶん、それが、ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　とか　ｄ^2／ｄｔ^2　という書き方をする大きな理由なのでしょう（と私は大学で学んでから初めて思いました）。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

解決してほったらかしになってしまいました。

>ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　と書けば、ｘ　という主人公を　ｔ　で２回微分したのだな、ということが明確になります。

なるほど、納得です。

お礼日時：2011/02/17 21:58

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2011/02/11 20:08

＞傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2

d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx

はわかりますか。

dy/dx（傾き）をxでさらに微分しているだけのことです。

この回答へのお礼

理解できました。
ズバリです。

お礼日時：2011/02/12 00:28

No.1 回答者： noname#128765 回答日時： 2011/02/11 20:06

定義としてd^2y/dx^2というのは

∃δ>0に関して、|h|<δならば
dy(x＋h)/dx-dy(x)/dx=Ah＋O(|h|)
となるAの値である。
ただしO(|h|)は lim(h→0)O(|h|)/h=0となるように満たされる。
x近傍においては
A≒ (dy(x＋h)/dx-dy(x)/dx)/h と近似できて、これは傾きの変化率にしかすぎない。

この回答へのお礼

どうも

いろんな質問みてると素人質問には必ずこのような回答が入りますよね。。
なぜなのでしょう？
頭が良すぎて凡人のことがわからないのか？
それとも凡人にもわかるような頭を持ち合わせていないのか？
たぶん私が凡人以下なのでしょう（笑）

お礼日時：2011/02/12 00:26