2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

Question

微分＝傾き＝tanθ＝dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分＝傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き＝tanθ＝dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

anisakis · Accepted Answer

表記の仕方ですか？
dy/dxは　
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです

ddtddtddt · Answer

もう答えは出てると思いますので、これは回答ではありませんが、#1さんへのお礼を見て気になったので、書きます。

#1さんの応えは、質問の意に沿ったものではないと、自分が見ても思えますが、#1さんも#2さんも、結局は同じ事を言ってると、わかった後では何となく思いませんか？。#1さんは本当に、回答のような説明を見て、納得したのかも知れません。納得の仕方は、人それぞれです。なので、

＞頭が良すぎて凡人のことがわからないのか？
＞それとも凡人にもわかるような頭を持ち合わせていないのか？
＞たぶん私が凡人以下なのでしょう（笑）

は違うと思います。あるとすれば、#2さんのような考えを、生まれつき即座に出来るかどうかの違いで、これは頭の良し悪しとは、全然関係ないと思います。得意か不得意かの違いです。

応答が自分の意にそぐわないようなものであれば、「そういう事を聞きたいのじゃない」「こういう事を聞きたいのだ」と、補足に書けば良いだけの話です。

自分も数学や物理に関しては、即座に出来ない方なので、あのようなお礼を書きたくなる気持ちもわかりますが、公共の掲示板である限り、回答者の真意は本当はわからない訳で、回答には誠実に対応すべきだと思います。

なので、#4さんの回答も吟味してみて下さい。吟味できるのは、あなただけです。

最後に自分の意見を言うと（今までも言ってますね）、数学全般の癖として、極端に言葉を切り詰める傾向があります。「ここまで読んだ人なら、言わなくてもわかるだろう」というわけです。自分も、「この記述はあんまりじゃないか？」と思える事態は、数え切れないほどおぼえています。そこで最近は、「数学的記述は、じつは常識的に判断した方が良いのだ」と思うようになりました。それが、#2さんのような発想に、つながると思います。

sanori · Answer

こんにちは。

ある物体が一定ではない速度で進んでいるとします。何階と何階で止まるか予想できないエレベーターに乗ったときのような感じです。

物体の位置（物体が進んだ距離）をｘ
時刻（スタートからの時間）をｔ
と置きます。

ｘをｔで１回微分すると、速度（ｖ）になります。
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ
横軸をｔ、縦軸をｘ　としてグラフを描くと、そのグラフにおける　tanθ　は　ｖ　を意味します。

ｖをｔで１回微分（ｘをｔで２回微分）すると、加速度（ａ）になります。
ａ　＝　ｄｖ／ｄｔ　＝　ｄ（ｄｘ／ｄｔ）／ｄｔ
しかし、ｄ（ｄｘ／ｄｔ）／ｄｔ　という表記をする習慣がないので、
ａ　＝　ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2
と書きます。
横軸をｔ、縦軸をｖ　としてグラフを描くと、そのグラフにおける　tanθ　は　ａ　を意味します。

１回微分を　ｄｘ／ｄｔ　と書くなら、２階微分を　（ｄｘ／ｄｔ）^2　と書きゃあいいじゃねえか、と言いたくなりますが、
ｄｘ／ｄｔ　＝　ｖ
（ｄｘ／ｄｔ）^2　＝　ｖ^2
なので、
ａ　＝　ｖ^2
という、変な物理法則が誕生してしまいます。

微分を最初習うときって、ｙ’というふうに、ダッシュ記号で表すじゃないですか。
二階微分だったら、ｙ’’です。
大学の力学では、文字の上に点（・）を１回打てば、時刻で１回微分したことを表す、という約束を習います。
ですけど、一般的に、ダッシュや点だけだと、「何で微分したのか」がわかりません。
ですから、ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　と書けば、ｘ　という主人公を　ｔ　で２回微分したのだな、ということが明確になります。
それがメリットです。

実は、もう一つ、ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　と書くことの大きなメリットがあります。
それは、これです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B7%E3%82%A2%E3%83%B3
「ｄ」ではなく「∂」という記号（偏微分を表す）が用いられていますが、それは気にしないでください。
式を見ると、二階微分の記号（たとえば　∂^2／∂ｘ^2）が、二階微分されるものの記号と分離して‘一人歩き’しているように見えますよね。
そして、∇記号の２乗とか、Δ記号とかが書かれていますが、それは、微分される主役をさておいて、∂^2／∂ｘ^2　などの記号だけを‘無礼’にもまとめて略して記号化したものです。
そういう‘一人歩き’の記号を使うと、物理法則などの式が見やすく、すっきりします。
たぶん、それが、ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　とか　ｄ^2／ｄｔ^2　という書き方をする大きな理由なのでしょう（と私は大学で学んでから初めて思いました）。

spring135 · Answer

＞傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2

d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx

はわかりますか。

dy/dx（傾き）をxでさらに微分しているだけのことです。

noname#128765 · Answer

定義としてd^2y/dx^2というのは
∃δ>0に関して、|h|<δならば
dy(x＋h)/dx-dy(x)/dx=Ah＋O(|h|) 
となるAの値である。
ただしO(|h|)は lim(h→0)O(|h|)/h=0となるように満たされる。
x近傍においては
A≒ (dy(x＋h)/dx-dy(x)/dx)/h と近似できて、これは傾きの変化率にしかすぎない。

2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

表記の仕方ですか？

もう答えは出てると思いますので、これは回答ではありませんが、#1さんへのお礼を見て気になったので、書きます。

こんにちは。

＞傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2

定義としてd^2y/dx^2というのは

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