全微分のdx,dyの意味

dz=傾き×dx+傾き×dy
になる理由が分かりません
どうして傾きとdx,dyをかけるとdzが出てくるのでしょうか

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2023/05/27 02:29

zはxとyの関数と言う事ですよね。

そこでdzとは何かを計算してみます。

dz=z(x+dx,y+dy)-z(x,y)

=z(x+dx,y+dy)-z(x,y+dy)

+z(x,y+dy)-z(x,y)…①

ところで

∂z/∂x

={z(x+dx,y)-z(x,y)}/dx

なので

z(x+dx,y)-z(x,y)

=(∂z/∂x)dx…②

同様に

z(x,y+dy)-z(x,y)

=(∂z/∂y)dy…③

②のyは定数扱いできるのでをy+dyに置き換えて③と一緒に①に代入すると

dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy

となります。

実は私も全微分がなぜあの式になるのか、具体的に何を表しているのかが分かりませんでした。そして上記のような解釈を思い付いて納得できた次第です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/26 09:16

＞全微分のdx,dyの意味

Δx, Δy を「→0 にした極限」ということです。

dx にかける「傾き」は ∂z/∂x、dy にかける「傾き」は ∂z/∂y であって、同じものではありません。

「z に対する x 方向の傾き（接線の傾き）に Δx をかけたもの（= x 方向への z の変化分）」に「z に対する y 方向の傾き（接線の傾き）に Δy をかけたもの（= y 方向への z の変化分）」を足したものです。

山の斜面で、「南北方向の高さの変化」と「東西方向の高さの変化」の和を「その地点の高さの変化」としようということです。

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/05/26 08:20

x.yの次はzです。