dxやdyの本当の意味は?

Question

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

adinat · Accepted Answer

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の２回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式（特に1次の微分形式）はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは（もちろん意識してませんが）、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか？ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式（チェイン・ルール）と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法（もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです）、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる（つまりdyとdxの比だと思う）という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式（dyとかdxとか）の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点（ドット）を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量（の1次近似）とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学３年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫（なんとかかんとか）dxというやつなのです。

hugen · Answer

＞「微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
　「両辺をdy倍して…」等々、、、また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。」

それは、
1192年　を　「いい国つくろう鎌倉幕府」　と　憶えるようなものです。

＞実際の所、　dxの定義は何なんですか?　　dyの定義は何なのですか?

[定義]  dy＝y 'Δx＝y 'h   ( Δx＝h )
すると、　　　y＝x  の場合　　　　dx＝x 'h＝1・h＝h　　なので
一般の　　y  　について　　　　　　　　dy＝y 'dx　　　と　表わせて
 両辺を　dx　で　割ると、　　　y＝f(x)　　の場合
　　　　　　　　　　　dy/dx＝y '＝f '(x)　　　　　　　となる。

yumisamisiidesu · Answer

他の方の回答にありますが、厳密な定義は微分形式としてあります.2様が仰る様に超準解析においても厳密に定義されると思いますが私にはよく分りません.


微分形式では次のような定義もあります.
(4様の定義と同値になると思います)
Mをn次元可微分多様体とし
(0形式)f:M→Rに対して
df(p)(v_p):=Df(φ^(-1)(p))(φ^(-1)(v_p))
と思いますが自信はありません.
k形式に対しても定義できます.

また置換積分で変数変換するとき単独でdx,dtなど扱えのもできる積分の定義を微分形式を使って行っているからだと思います.

rabbit_cat · Answer

＃２さんにも出ていますが、微分幾何での接空間の基底を∂/∂x、接空間の双対空間の基底をdxと書く、と定義するのが最も一般的かつ、しっくりくる定義だと思います。

変数変換のときに、（見かけ上）両辺にdxをかけるとかも、双対空間上での変数変換を考えれば、一応説明がつきます。

ただ確かに　工学分野でのdx＝無限小の変位というイメージに直接つながらないんですよね。。

eliteyoshi · Answer

dy/dx=(d/dx)yであり、
「yをxで微分する」という意味を持ちます。また(d/dx)は微分演算子と言います。
よって、dy/dxは分数ではありません。しかし、
「分数のように扱う」ことができます。例えば、変数分離型微分方程式は分数のように扱っています。

dy,dxは微小長さ、微小変位などを表します。自分は工学部機械工学科卒ですが、専門科目(材料力学・流体力学など)の理論の説明や式の導出などで頻繁に登場します。

jlglg · Answer

この話題はいままでの流れから見ると、微分幾何の流れ、つまり 
微分形式、接空間の系統と、無限小解析の系統（これは微積分の 
中にあるものと、ノンスタンダードアナリシスと両方）がはっきり 
したもので、これらの統合するという雰囲気の話もありました。 
統合した話、また一方のみで現存の微分式すべてスムーズに説明が 
つくという話はでていません。 
このような状態ですから、一方の見方 
で説明のうまくいかない事例をだして議論されれば、いままでにも 
まして大きな意味をもつと思われます。

4951snk · Answer

下のサイトにあなたの望む回答があると思います。

参考URL：http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec149.html

dxやdyの本当の意味は?

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。

＞「微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。

他の方の回答にありますが、厳密な定義は微分形式としてあります.2様が仰る様に超準解析においても厳密に定義されると思いますが私にはよく分りません.

＃２さんにも出ていますが、微分幾何での接空間の基底を∂/∂x、接空間の双対空間の基底をdxと書く、と定義するのが最も一般的かつ、しっくりくる定義だと思います。

dy/dx=(d/dx)yであり、

この話題はいままでの流れから見ると、微分幾何の流れ、つまり

下のサイトにあなたの望む回答があると思います。

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