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三角関数の微分の問題なんですが、上の式を微分すればvが出て、さらにそれを微分すればaがでるらしいのですがどうやって微分すればよいですか?いま独学で三角関数勉強してやってみたところ、xを微分したらAcos(ωt)になってしまいました( ノД`)…微分の途中式を教えていただけると助かります。

「三角関数の微分の問題なんですが、上の式を」の質問画像
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A 回答 (6件)

xをtで微分すると


v=dx/dt=(Asinωt)'
(sint)'なら公式になっているので簡単にわかるが、sinωtみたいに余分なもの(ω)があるとわからない。
こういう時は置き換えで!
u=ωtとおくと
du/dt=(ωt)'=ω←←←ωは定数だから (ax)'=aの微分と同じ感覚で(ωt)'=ω ただし、(ωt)'はtでの微分、 (ax)'はxで微分
x=Asinu
そして、dx/du=(Asinu)'=Acosu  ←←←公式(sinx)'=cosxの文字xがuになったもの
だから、重要定理:dx/dt=(dx/du)(du/dt)を用いると ←←←合成関数の微分法
v=dx/dt=(dx/du)(du/dt)=(Acosu)(ω)
uを元に戻せばv=Acos(ωt)・ω=Aωcosωt
と微分出来ます

ショートカットするなら以下の例に倣います
例:
{(2x+1)³}'=(d/dx)(2x+1)³=3(2x+1)²・(2x+1)'=3(2x+1)²・2==6(2x+1)²
これは、(~)³の微分では、先ず(x³)'=3x²と同様に3(~)²として、さらに()内の式:2x+1の導関数(微分した式)を掛け算する と言うやりかたです

別の式でも、同じ要領で微分できて
(3x²+x)⁴の微分なら()⁴の微分で4(3x²+x)³、さらに()中身の微分を付け加えて
{(3x²+x)⁴}'=4(3x²+x)³・(3x²+x)'=4(3x²+x)³(6x+1)です。

sinωtの微分も同じ要領で
sin(~)の微分はcos(~)、更に()内の式の微分を付け加えます→(sin(~))'=cos(~)x()内の微分
この要領でsinωtの微分なら
(sinωt)'=(cosωt)x(ωt)’ =(cosωt)x(ω)=ωcosωt
Asinωtなら
A(sinωt)'=A(cosωt)x(ωt)’ =A(cosωt)x(ω)=Aωcosωtです

v=Aωcosωtをtで微分する場合も同じ要領で
u=ωtとおけば
du/dt=ω
v=Aωcosu
dv/du=Aω(-sinu)
定理:dv/dt=(dv/du)(du/dt)より
a=dv/dt={Aω(-sinu)}・(ω)=-Aω²sinωt

置き換えに頼らないでやるなら
cos(~)の微分は-sin(~)、更に()内の式の微分を付け加えて→(cos(~))'=-sin(~)x()内の微分
ということで
(cosωt)'=(-sinωt)x(ωt)'=-ωsinωt
係数Aωまで考えれば
a=dv/dt=Aω(cosωt)'=Aω(-sinωt)x(ωt)'=-Aω²sinωt
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この回答へのお礼

丁寧でとても分かりやすかったです!回答ありがとうございました!

お礼日時:2019/07/17 22:14

すみません。


乗っかってませんでした。
「三角関数の微分の問題なんですが、上の式を」の回答画像6
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この回答へのお礼

はい!ありがとうございました!

お礼日時:2019/07/17 23:38

同様に

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独学で勉強中ならば、この回答でどうでしょうか?

「三角関数の微分の問題なんですが、上の式を」の回答画像4
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この回答へのお礼

これは...微分の定義に基づいて計算してくれたんですね!でも面倒なので公式使おうと思います(笑)。ですがとてもいい勉強になりました!!ありがとうございます!

お礼日時:2019/07/17 22:17

>三角関数の微分の問題なんですが、上の式を微分すればvが出て、さらにそれを微分すればaがでるらしいのですが



それは「数学」というよりも「物理」の話です。
「位置(座標)」の時間変化率が「速度」で、「速度」の時間変化率が「加速度」です。

時間変化率(時間の変化に対するその物理量の変化)なので「時間 t で微分する」のです。

あなたの習った「三角関数の微分」は sin(x), cos(x) を「x で微分」する
 d[sin(x)]/dx = cos(x)
 d[cos(x)]/dx = -sin(x)
ですね。

お示しの場合には、 sin(ωt), cos(ωt) を「t で微分」するものですね。
つまり、上の公式と対応させれば
 x = ωt    ①
であり、従って
 dx/dt = ω
という関係です。

公式の「x」が①のような「t の関数」ですから、#1 さんのとおり「合成関数の微分」ということになるのです。

上の「公式の x」と紛らわしいので、お示しの画像の「x」を大文字で書くことにすれば
 X = A・sin(ωt)
これを上の①のように
  x = ωt    ①
と書けば
 X = A・sin(x)
ですから、これを「x で微分」すれば、確かに
 dX/dx = A・cos(x)
です。
でも、ここでは「時間 t で微分:dX/dt」したいのです。

ということで、「合成関数の微分」で
 dX/dt = (dX/dx)・(dx/dt)      ②
を使います。
上のように
 dX/dx = A・cos(x)
だし、①から
 dx/dt = ω
なので、②の結果は
 dX/dt = (dX/dx)・(dx/dt)
    = A・cos(x)・ω
    = Aω・cos(x)     ←単に順序を入れ替え
    = Aω・cos(ωt)     ←x = ωt を元に戻した
となります。
これが
 v = dX/dt = Aω・cos(ωt)
です。

v → a も同様です。これも
 x = ωt    ①
とおいて
 a = dv/dt = (dv/dx)・(dx/dt)
で求めてみてください。


微分では、「何で微分するか」(何に対する変化率を求めたいか)をきちんと意識することが重要です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!時間tで微分してるということが大切なんですね!!

お礼日時:2019/07/17 22:12

合成関数の微分


dy/dx=dy/dz・dz/dx
を使います。

x=Asinωt
dx/dt=dx/dωt・dωt/dt
=Acosωt・ω
=Aωcosωt=v

同様に
v=Aωcosωt
dv/dt=Aω(-sinωt)ω
=-Aω²sinωt=α
となります。
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この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました!

お礼日時:2019/07/17 22:11

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