No.3ベストアンサー
- 回答日時:
xをtで微分すると
v=dx/dt=(Asinωt)'
(sint)'なら公式になっているので簡単にわかるが、sinωtみたいに余分なもの(ω)があるとわからない。
こういう時は置き換えで!
u=ωtとおくと
du/dt=(ωt)'=ω←←←ωは定数だから (ax)'=aの微分と同じ感覚で(ωt)'=ω ただし、(ωt)'はtでの微分、 (ax)'はxで微分
x=Asinu
そして、dx/du=(Asinu)'=Acosu ←←←公式(sinx)'=cosxの文字xがuになったもの
だから、重要定理:dx/dt=(dx/du)(du/dt)を用いると ←←←合成関数の微分法
v=dx/dt=(dx/du)(du/dt)=(Acosu)(ω)
uを元に戻せばv=Acos(ωt)・ω=Aωcosωt
と微分出来ます
ショートカットするなら以下の例に倣います
例:
{(2x+1)³}'=(d/dx)(2x+1)³=3(2x+1)²・(2x+1)'=3(2x+1)²・2==6(2x+1)²
これは、(~)³の微分では、先ず(x³)'=3x²と同様に3(~)²として、さらに()内の式:2x+1の導関数(微分した式)を掛け算する と言うやりかたです
別の式でも、同じ要領で微分できて
(3x²+x)⁴の微分なら()⁴の微分で4(3x²+x)³、さらに()中身の微分を付け加えて
{(3x²+x)⁴}'=4(3x²+x)³・(3x²+x)'=4(3x²+x)³(6x+1)です。
sinωtの微分も同じ要領で
sin(~)の微分はcos(~)、更に()内の式の微分を付け加えます→(sin(~))'=cos(~)x()内の微分
この要領でsinωtの微分なら
(sinωt)'=(cosωt)x(ωt)’ =(cosωt)x(ω)=ωcosωt
Asinωtなら
A(sinωt)'=A(cosωt)x(ωt)’ =A(cosωt)x(ω)=Aωcosωtです
v=Aωcosωtをtで微分する場合も同じ要領で
u=ωtとおけば
du/dt=ω
v=Aωcosu
dv/du=Aω(-sinu)
定理:dv/dt=(dv/du)(du/dt)より
a=dv/dt={Aω(-sinu)}・(ω)=-Aω²sinωt
置き換えに頼らないでやるなら
cos(~)の微分は-sin(~)、更に()内の式の微分を付け加えて→(cos(~))'=-sin(~)x()内の微分
ということで
(cosωt)'=(-sinωt)x(ωt)'=-ωsinωt
係数Aωまで考えれば
a=dv/dt=Aω(cosωt)'=Aω(-sinωt)x(ωt)'=-Aω²sinωt
No.2
- 回答日時:
>三角関数の微分の問題なんですが、上の式を微分すればvが出て、さらにそれを微分すればaがでるらしいのですが
それは「数学」というよりも「物理」の話です。
「位置(座標)」の時間変化率が「速度」で、「速度」の時間変化率が「加速度」です。
時間変化率(時間の変化に対するその物理量の変化)なので「時間 t で微分する」のです。
あなたの習った「三角関数の微分」は sin(x), cos(x) を「x で微分」する
d[sin(x)]/dx = cos(x)
d[cos(x)]/dx = -sin(x)
ですね。
お示しの場合には、 sin(ωt), cos(ωt) を「t で微分」するものですね。
つまり、上の公式と対応させれば
x = ωt ①
であり、従って
dx/dt = ω
という関係です。
公式の「x」が①のような「t の関数」ですから、#1 さんのとおり「合成関数の微分」ということになるのです。
上の「公式の x」と紛らわしいので、お示しの画像の「x」を大文字で書くことにすれば
X = A・sin(ωt)
これを上の①のように
x = ωt ①
と書けば
X = A・sin(x)
ですから、これを「x で微分」すれば、確かに
dX/dx = A・cos(x)
です。
でも、ここでは「時間 t で微分:dX/dt」したいのです。
ということで、「合成関数の微分」で
dX/dt = (dX/dx)・(dx/dt) ②
を使います。
上のように
dX/dx = A・cos(x)
だし、①から
dx/dt = ω
なので、②の結果は
dX/dt = (dX/dx)・(dx/dt)
= A・cos(x)・ω
= Aω・cos(x) ←単に順序を入れ替え
= Aω・cos(ωt) ←x = ωt を元に戻した
となります。
これが
v = dX/dt = Aω・cos(ωt)
です。
v → a も同様です。これも
x = ωt ①
とおいて
a = dv/dt = (dv/dx)・(dx/dt)
で求めてみてください。
微分では、「何で微分するか」(何に対する変化率を求めたいか)をきちんと意識することが重要です。
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