二次関数 y=x^2 を微分すると---

微分とは簡単に言えば傾きを求めることと言われました。ところが二次関数　y=x^2　を微分すると2Xになります。この答えについてお教えください。この傾きが2というのは関数のどこの点でのことを言うのですか。それとも　y=x^2　の全体の平均としての傾きなんですか。又は2次関数や3次関数などの微分は傾きと言う事を考えること自体意味がないのですか

No.10 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/11 01:44

2x を y=2x という直線の方程式と混同してるのかな？

2xは直線の方程式をじゃなくて傾きそのもの。
x=aの時の傾きは2a

因みに、x=aの時の傾きとは
y=x² 上の点(a、a^2)を通る、グラフに接する接線の傾き。

勿論3次でも千次でも微分(傾き)は存在します。

この回答へのお礼

解りやすい説明でした。有難うございました。

お礼日時：2022/06/14 21:32

No.9 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2022/06/10 21:37

xにその地点代入するだけ。

瞬間捉えるのが微分といえばいいかな。

平均ならある意味積分かな？

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/10 21:23

y=x^2

f(x)=x^2
とする
xがh増加するとf(x+h)=(x+h)^2

2点(x,x^2),(x+h,(x+h)^2)
を
通る直線の傾きは

{(x+h)^2-x^2}/h
=(x^2+2hx+h^2-x^2)/h
=(2hx+h^2)/h
=2x+h

になる

ここで　hを0に近づけると

傾き
2x+h
は

2x

に近づくのです

No.7 回答者： head1192 回答日時： 2022/06/10 18:56

２じゃなくて２ｘでしょ。

この２つはぜんぜん違うよ。

与式は２次関数だから曲線。
当然場所によって接線の傾きが異なる。
それを一般化して表したのが導関数ｙ’＝２ｘ

この導関数ｙ’を具体化すると次のようになる。
・ｘ＝１の地点における接線の傾きｙ’＝２・１＝２
・ｘ＝２の地点における接線の傾きｙ’＝２・２＝４
・ｘ＝３の地点における接線の傾きｙ’＝２・３＝６
・・・

それと、接線の傾きを考えないと意味がない。
傾きとはつまりその地点における変化の大きさ。
物理学では位置の変化から速度が求められ、速度の変化から加速度が導かれる。
この上なく重要な概念。

というより話は逆で、ニュートンは上のような力学現象を解明するために微分法を開発した。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/10 18:43

＞ y=x^2 を微分すると 2x

て言い方が良くないやね。端折ることが誤解のモト。

正しくは、 y=x^2 を微分すると y’=2x になる。
これが y=2x じゃあないのを見れば、
傾きが 2 かなって誤解は起こらない(はず)。

y’ そのものが傾きなので、
2x から更に傾きを取り出して 2 にする必要はない
ってか、そんなことしちゃいかん。
y’’=2 ってことだから、それじゃあ y の傾きじゃなくて
「y の傾きの傾き」が 2 だって話になってしまう。

「傾きの傾き」を 2階微分係数って言って、
それはそれで使いみちはあるんだけどさ。
少なくとも「傾き」とは別のものだ。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/10 14:50

y=x² の導関数は 2x で間違いありません。

導関数 そのものが 傾きなのです。
従って、この時の傾きは 2 ではなく 2x なのです。
つまり x=1 のときの 傾きが 2 で、
x=2 のときの傾きは 4 に、x=10 のときは 20になります。
「平均の傾き」ではなく x の特定の値に対する 傾きです。
これは 2次関数でも 3次関数でも一緒の事です。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/06/10 14:20

2xのxに該当する点。

x=1の点では傾き2
x=2の点では傾き4
x=3の点では傾き6
・
・
x=nの点では傾き2n

傾きというのは、接線の傾きの事。

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2022/06/10 14:20

微分の最初の部分で、

f(x) の x= p における「微分係数 f‘(p)」とは
「y=f(x)上の点(p,f(p))における接線の傾き」
になります。

例えば、f(x)=x^2のとき、
f(x) を微分すると、f’(x)=2x
x=0 → 点(0,0)における接線の傾き
= f’(0) = 0
x=1 → 点(1,1)における接線の傾き
= f’(1)= 2
x=2 → 点(2,4)における接線の傾き
= f’(2)= 4
x=-1 → 点(-1,1)における接線の傾き
= f’(-1)= -2
……
x=p → 点(p,p^2)における接線の傾き
= f‘(p)=2p
ということです。

f(x)を微分するということは、
f(x)上の各点における
「“接線の傾き”の関数」
を求めていることになります。

車とか自転車の運転でいえば、
「各地点でハンドルを左(又は 右)に
どれだけ切るか、あるいは真っ直ぐに保つか」みたいなものです。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2022/06/10 14:19

> y=x^2　を微分すると2xになります。

これは、xの微小変化分dxと、ｙの微小変化分dyの比率、
つまり、その傾斜である　dy/dxが2xである、と言う事です。

> この傾きが2というのは
この場合、傾きは「2」ではなく、「2x」です。
なので、xの値(曲線の位置)で、傾きは変わります。

> 関数のどこの点でのことを言うのですか。
その関数(曲線)の、任意のxの点の微小区間です。

> 2次関数や3次関数などの微分は傾きと言う事
その通りです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/10 14:13

グラフの

位置x地点
での接線の傾きが2xです
だから、例えばグラフの原点では
位置がx＝0なので
この地点での傾きは
2x＝2・0＝0
です
平均の傾きではなくて
瞬間の傾き
とも言えます