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よろしくお願いします。
見出しのとおり、x=r・cosθ θはtの関数とすると

dx/dt = -r・sinθ・(dθ/dt)

この式をもう一度微分して

(d^2x/dt^2)=-r・cosθ・(dθ/dt)^2 -r・sinθ・(d^2θ/dt^2)・・・①

ここまでは途中の計算も自分で理解できました。(参考書にも同じ計算が載っていましたから合っていると思います。)

ここで、物理でよく出てくる角速度をωとおいて θ=ωt 角速度ω=一定とすると、上の式の第2項は、θの2回微分(ωの1回微分)が含まれているので、ゼロになります。

つまり①式は (d^2x/dt^2)=-rω^2・cosωt ←ここまでは分かります。

では、
角速度ωがtの関数で一定ではないとすると①式はどのような計算になるでしょうか。

x=r・cosωt
(dx/dt)=-r・sinωt・ω
       =-rω・sinωt
この式をもう一度tで微分すると……ここからが自分には計算できません。どなたか御指導をお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

角速度が一定でないということは、もはや θ = ωt は成り立ちません。



そこで θ を時間の関数 θ(t) として微分します。

x = rcosθ
ω = dθ/dt (角速度)
α = dω/dt (角加速度)

としましょう。rは定数とします。

合成関数の微分を使って
dx/dt = -rsinθ・dθ/dt = -rωsinθ

ここまでは同じ。

もう一回微分すると、ωが定数ではないので積の微分で
2項に分かれます。

d^2x/dt^2 = -r(dω/dt)sinθ -rωcosθ・dθ/dt
= -rαsinθ - r(ω^2)cosθ

第2項はω一定の場合と同じ。
第1項は角加速度がゼロでないことで現れた項です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。短時間で多くの回答が寄せられており、大変感謝です。

御指導いただいたとおり、そもそも角速度が一定でないなら θ=ωt は成り立ちませんね。重大な見落としでした。

式の説明も大変よく分かりました。

お礼日時:2022/05/11 23:07

合成関数の微分は、dx/dt = (dx/dθ)(dθ/dt) と


右辺が積の形になるので、
二階微分には積の微分法則を使います。
(fg)’ = (f')g + f(g’) です。

(d²x/dt²) = (d/dt){ (dx/dθ)(dθ/dt) }
     = { (d/dt)(dx/dθ) }(dθ/dt) + (dx/dθ){ (d/dt)(dθ/dt) }
     = { (d²x/dθ²)(dθ/dt) }(dθ/dt) + (dx/dθ)(d²θ/dt²)
     = (d²x/dθ²)(dθ/dt)² + (dx/dθ)(d²θ/dt²).
x = r cosθ, θ = ωt なら、最下行の計算は容易ですね?

ω が定数でない場合は、
θ を微分するのにも積の微分法則を使って
dθ/dt = (d/dt){ ωt }
   = (dω/dt)t + ω(dt/dt)
   = (dω/dt)t + ω,

d²θ/dt² = (d/dt){ (dω/dt)t + ω }
    = (d/dt){ (dω/dt)t } + dω/dt
    = { (d/dt)(dω/dt) }t + (dω/dt)(dt/dt) + dω/dt
    = (d²ω/dt²)t + 2dω/dt.
になります。

結局、
(d²x/dt²) = (- r cosθ)((dω/dt)t + ω)² + (‐ r sinθ)((d²ω/dt²)t + 2dω/dt).
です。
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#1です。


間違えました。
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角速度ωがtの関数で一定ではない、との条件の時、


θ=ωt
の関係が成り立ちません。この関係はωが一定である時だけに成り立ちます。
dθ/dt=ω
の関係は成り立ちます。(これはωの定義です)

x=r・cosθ
を時間で微分すると(r一定)
dx/dt=-rω・cosθ
d^2x/dt^2=-r(dω/dt)・cosθ-r・ω^2・sinθ
になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
x=r・cosθ の時間微分
dx/dt =-rω・sinθ の間違いでよろしかったでしょうか。

お礼日時:2022/05/11 23:10

x=rcosθ


x'=-rsinθ・θ'=-rsinθ・(wt)'=-rsinθ・(w't+w)

x''={-rsinθ・(w't+w)}'
 =-rcosθ・θ'(w't+w)-rsinθ・(w't+w)'
 =-rcosθ・(w't+w)(w't+w)-rsinθ・(w''t+w'+w')
 =-rcosθ・(w't+w)²-rsinθ・(w''t+2w')
 =-rcoswt・(w't+w)²-rsinwt・(w''t+2w')
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