微分の解けない問題があるので誰か教えて頂きたいです。 dx/dt+2x＝cos(4t) x(0)＝-

微分の解けない問題があるので誰か教えて頂きたいです。
dx/dt+2x＝cos(4t)
x(0)＝-1
という問題です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/20 22:55

dx/dt + 2x = cos(4t) の両辺に e^(2x) を掛けて、

(e^(2t))(dx/dt) + (2e^(2t))x = (e^(2t)){ e^(4it) + e^(-4it) }/2.
これを t で積分すると、
(e^(2t))x = (1/2)∫{ e^((2+4i)t) + e^((2-4i)t) }dt
　　　　= (1/2){ (e^((2+4i)t)/(2+4i) + (e^((2-4i)t)/(2-4i) } + C　(Cは定数).
よって、
x = (e^(-2t))(1/2){ (e^((2+4i)t)/(2+4i) + (e^((2-4i)t)/(2-4i) } + Ce^(-2t)
　= (e^(4it)/(4+8i) + (e^(-4it)/(4-8i) + (C/2)e^(-2t)
　= (e^(4it) + (e^(-4it))/20 - i (e^(4it) - (e^(-4it))/10 + (C/2)e^(-2t)
　= (cos(4t))/10 + (sin(4t))/5 + (C/2)e^(-2t).
初期条件を使うと、 t = 0 のとき
-1 = 1/10 + 0/5 + (C/2) より C = -11/5.
結局、
x = (cos(4t))/10 + (sin(4t))/5 - (11/10)e^(-2t).

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/20 21:52

特殊解を元るるため

　x=Acos4t+Bsin4t
と仮定する。与式に入れると
　-4Asin4t+4Bcos4t+2(Acos4t+Bsin4t)=cos4t
この式が恒等的に成り立つには
　-4A+2B=0, 4B+2A=1
→ A=1/10, B=1/5

斉次式
　dx/dt+2x=0・・・・①
の一般解は変数分離で x≠0 として
　dx/x=-2dt
積分して
　log|x|=-2t+C → |x|=e^C e^(-2t)
→ x=Ae^(-2t) (A≠0)

ここで、x≠0 としたが、x=0 も①の解になっているから
改めて、Aを0も含めた任意定数として①の解は
　x=Ae^(-2t)
となる。

従って元の非斉次式の一般解は特殊解との和となり
　x=Ae^(-2t)+(1/10)cos4t+(1/5)sin4t
となる。初期条件から
　-1=x(0)=A+1/10+0 → A=-11/10

ゆえに、与式の解は
　x=-(11/10)e^(-2t)+(1/10)cos4t+(1/5)sin4t

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2023/06/20 23:10

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/20 21:47

それは「ただの式」では?

それをどうしろって問題なの?

なお「微分方程式を解け」というなら, 公式に突っ込んでしまえばいい.