3次方程式の定数の範囲の問題です。 問題文が3次方程式X^3+(K−1)X^2−(K−4)X−4＝0

3次方程式の定数の範囲の問題です。
問題文が3次方程式X^3+(K−1)X^2−(K−4)X−4＝0が次の解をもつように次の定数Kの値のの範囲を求めよ。
(1)虚数解
(2)異なる3つの実数解
(3)重解
わかる方教えてください。お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： ミックス三世 回答日時： 2018/02/18 02:06

f(x)=x³+(k-1)x²-(k-4)x-4

とおくと、
f(1)=1+(k-1)-(k-4)-4=0
よって、f(x)は1を解にもつ
から、組み立て除法により
f(x)
=x³+(k-1)x²-(k-4)x-4
=(x-1)(x²+kx+4)
となる。このとき、
x²+kx+4の判別式を
D=k²-16
とする。

①虚数解をもつ

x²+kx+4=0が虚数解をもてば(実数解をもたなければ)よいから、求める範囲は
D=k²-16＜0
ゆえに -4＜k＜4

②異なる3つの実数解をもつ

x²+kx+4=0が1ではない2つの実数解をもてばよいから、
1+k+4≠0 ∴ k≠-5 であり、
D=k²-16＞0 (k≠-5)
ゆえに求める範囲は、
k＜-5 ,-5＜k＜-4 , 4＜k

③重解をもつ

x²+kx+4=0が重解を持てばよい(その解に1が含まれてもよい)から、求める範囲は
k²-16=0 ゆえに k=±4

この回答へのお礼

ご丁寧に詳しい解説をしてくださってありがとうございます

お礼日時：2018/02/18 13:38