なんで４次方程式f(x)=0がx=2を重解にもつときの必要十分条件がf(2)=f´(2)=0なんです

なんで４次方程式f(x)=0がx=2を重解にもつときの必要十分条件がf(2)=f´(2)=0なんですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/02 16:24

#2 結論の訂正

以上から画像の通り　ではなく
以上から　必要十分条件は質問文の通り　です


ま、ざっくりとしたイメージではグラフを利用すると良いです。
y=f(x)のグラフを用いて（縦軸ｙ、横軸x)
f(x)=0がx=2を重解にもつ状況を考えてください
y=f(x)のグラフとx軸は x=2で共有点を持たなければなりませんよね。→f(2)=0
でもそれだけでは重解とは言い切れません！
重解であるためには、グラフがx=2でx軸に接する必要があるのです（2次関数のグラフがx軸と接するとき、2次方程式の解は重解と言うことを参考にしてください）
x=2でx軸と接するという事は、グラフの傾きがx=2で0であるということです
従てf'(2)=0も必要という事になります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/02 19:53

f(x)=0 が解 x=2 を重解に持つということは、x=2+h で置き換えると

f(2+h)=0 が解 h=0 を重解に持つということです。
剰余定理を二度使用すると、h についての多項式 f(2+h) が h^2 で割り切れる
ことと同値と判ります。(因数定理だと十分性が欠けてしまう。)
f(2+h) を展開して h の降冪に整理すると、定数項と一次項が 0 になっているわけです。
微分係数の定義を知っていれば、一次項の係数 = f’(2+0) であることは解るでしょう。
よって、必要十分。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/02 16:13

理解するには数Ⅲ程度の履修が必要です

f(x)=0がx=2を重解にもつ・・・条件Pとする
f(2)=f´(2)=0・・・条件Qとする

条件Pを式で表すとf(x)=a(x-2)²g(x) (g(x)はｘの２次式）
f'(x)={a(x-2)²}'g(x)+a(x-2)²g'(x)=2a(x-2)g(x)+a(x-2)²g'(x)
従って
f(2)=0
f'(2)=0
これでP→Qは成り立つことが分かりました（Qは必要条件）

今度はQ→P（十分）の証明です
f(2)=0ならば
f(x)=b(x-2)h(x) (h(x)は３次式）
f'(x)=bh(x)+b(x-2)h'(x)
f'(2)=0ならば　
f'(x)=c(x-2)k(x) (k(x)は２次式）
→bh(x)+b(x-2)h'(x)=c(x-2)k(x)
h(x)=(1/b){c(x-2)k(x)-b(x-2)h'(x)}=(x-2)(1/b){ck(x)-bh'(x)}
→h(x)は(x-2)を因数に持つ
→f(x)=b(x-2)h(x) は(x-2)(x-2)=(x-2)²を因数に持つ
→f(x)=A(x-2)²G(x)型の式である
従てQ→Pga成り立つ（Qは十分条件）

以上から必要十分条件は画像の通りです

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/02 15:14

y=f(x)のグラフを考えてください。

f(ｘ)＝０がｘ＝２を重解にもつということは、y=f(ｘ)のグラフがｘ軸とｘ＝２で接するということです。
したがって、f(２)＝ｆ´(2)=0　となります。