３次関数と直線が接する場合、重解をもつ証明

数学の問題で、３次関数と直線が接するとき、連立方程式を立てて重解を持つことになるというのが、特に詳しい証明もなく使われているのですが、なぜこう言えるのでしょうか？２次関数ならば直線と接する場合、解が１つしかないということから、すぐに重解をもつことが条件となることが分かりますが、３次関数の場合、接するならば、重解をもつということの証明をおしえてください。よろしくお願いします。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/12/31 11:39

おそらく、

　点 P(a, b) から 曲線 y = x3 へ引いた接線の方程式を求めよ
という設問に対する答案策なのでしょう。

代表的な二つの算段は、
　(1) 点 P を通る直線の方程式を立て、それが曲線に接する条件を求める方法
　(2) まず曲線に対する接線の方程式を立て，それが与えられた点 P を通るような接点を求める方法
らしい。

ご質問は、(1) を採用した場合に避けられぬ難問、みたいですネ。
　「３次関数」にて、重根条件を勘定させられる羽目になる。
　…そして何故「重根条件」なのかは、これまでの皆さんのコメント通り。

さっさと勘定したいケースなら、(2) の算段によるのがよさそうです。
　　

No.2 回答者： f272 回答日時： 2014/12/30 00:39

「解が１つしかないということから、すぐに重解をもつことが条件となる」と考えるよりも、「解の前後で符号の変化がないから重解を持つ」と考えたほうがわかりやすいぞ。

「解の前後で符号の変化がない」というのは、図形的にいえば「接する」と言うことだ。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/12/30 00:27

曲線と直線が接するという状況をよく考えてみてください。

曲線と直線は一般にある変数範囲で２点で交わりますが、この２点が次第に近づいて行った極限が「接する」という状況と考えます。つまり重解は接点を与えることになります。

したがって２次関数に限らず曲線と直線の関係は一般にこういう関係になっています。よってたとえばsinx,cosx,e^x,logx等々、曲線の接線は重解によって与えられます。