No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そうなります。
x=p で変曲点をもつ3次曲線をf(x)とします。すると、
f’’(x)=6a(x-p) (a≠0;6aでなく、aとしてもいいですが、計算を楽にするためにaにします)
なので、積分して、
f’(x)=3a(x-p)^2+b
となります。これを再び積分すると、
f(x)=a(x-p)^3+b(x-p)+c (bx+C とするのが普通ですが、これでもかまいません)
となります。
f’(p)=b, f(p)=c だから、x=pにおける接線の方程式は
y-c=b(x-p)
です。したがって、これと y=a(x-p)^3+b(x-p)+c と連立させると、
a(x-p)^3=0
となり、x=p は3重解です。
No.3
- 回答日時:
#1修正
接線ではない直線と3次曲線が交点3こを持つ場合について
直線の式をy=ax+b,3次曲線の式をy=f(x)とし、グラフ上で3つの交点を左から順にA,B,Cとすると
2式を連立方程式にして得られる、f(x)=ax+b⇔f(x)-(ax+b)=0 の解Xa,Xb,XcはそれぞれA,B,Cのx座標を表しますが、
#1に示した通り、Bは固定でAをBに近づけていくとやがてA,Bは重なります
(このときCの位置も変わりますが、通常はCがA,Bに重なることはありませんから、この段階ではCのことはあまり意識しないこととします)
離れた2点A,Bが近づく様子をイメージしてもらえば分かりますが、(B固定で)AをBに近づければ近づけるほど
直線ABの傾きと切片は、Bの接線の傾き、切片に近づいて行き、
AがBと重なった時直線ABはBの接線と一致します。
このとき、f(x)-(ax+b)=0は3次方程式なので解はXa,Xb,Xcの3つですが、このうちXaとXbは同じ座標なので2重解となります。
ただ、Bが変曲点のときは特殊です。
3次曲線のグラフは、変曲点に関して点対称ですから
Bを変曲点の位置に固定し、AをBに重ねる場合、図形の対称性からAがBに重なればCもBに重なります
このときも、f(x)-(ax+b)=0は3次方程式なので解はXa,Xb,Xcの3つですが、いずれも同じ座標なので3重解となります。
No.1
- 回答日時:
まず、曲線と直線の交点2つの場合をイメージ
次にこの交点を互いに近づけていくことをイメージ
するとやがて2交点は1つに重なります
この2交点が重なった状態のとき、交点は1つとなりこれを接点と呼ぶ
また、この状態になった時の直線を接線と呼ぶのです
本来2つある交点が1か所に重なった状態ですから、曲線と直線(接線)の解(接点の座標を表わす解)は2重解です
これは変曲点か、そうでないかという事には無関係
また、2次関数でも、3次関数でも4次関数でも同じです
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