数学(二次関数と接線)(誤りがあり再質問) なぜ２つの「x^2の係数が同じ二次関数」の交点x座標は

数学(二次関数と接線)(誤りがあり再質問)

なぜ２つの「x^2の係数が同じ二次関数」の交点x座標は

共通接線のそれぞれの接点x座標を足して2で割ったものになるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/06 13:02

ああ、聞きたかったのはそういうこと？

「なぜ」ではなくて、まっとうに計算すればそうなることを示せばよいだけ。

2つの二次関数を
　y = kx^2 + mx + n　　　　①
　y = kx^2 + px + q　　　　②
として、共通接線を
　y = ax + b　　　　　　③
とすればよい。

①②の交点は
　kx^2 + mx + n = kx^2 + px + q
→　(m - p)x = q - n
m=p だと交点を持たないから、交点を持つためには m≠p であり、交点の x 座標は
　x = (q - n)/(m - p)　　　　④


次に、①③の接点は
　kx^2 + mx + n = ax + b
→　kx^2 + (m - a)x + (n - b) = 0
が重解を持つことから
　D1 = (m - a)^2 - 4k(n - b) = 0　　　　⑤
で、解は
　x1 = -(m - a)/(2k)　　　　⑥

同様に、②③の接点は
　kx^2 + px + q = ax + b
→　kx^2 + (p - a)x + (q - b) = 0
が重解を持つことから
　D2 = (p - a)^2 - 4k(q - b) = 0　　　　⑦
で、解は
　x2 = -(p - a)/(2k)　　　　⑧


ここで、「共通接線のそれぞれの接点x座標を足して2で割ったもの」は
　(x1 + x2)/2 = [-(m - a)/(2k) - (p - a)/(2k)]/2
　　　　　　　= (2a - m - p)/(4k)　　　　　　　⑨

また、m, n, p, q, a, b の関係を求めると、⑤ - ⑦ より

　(m - a)^2 - (p - a)^2 = 4k(n - b) - 4k(q - b)
→　[(m - a) + (p - a)][(m - a) - (p - a)] = 4k(n - q)
→　(-2a + m + p)(m - p) = 4k(n - q)
両辺を 4k(m - p) ≠ 0 で割れば
　(q - n)/(m - p) = (2a - m - p)/(4k)

つまり、④と⑨は等しいことが分かる。