数学です

曲線y=x三乗-2x上の任意の点Aにおける接線が曲線と交わる点をBとするとき、線分ABの中点はどのような曲線上にあるか？

なるべく詳しく解説してください。よろしくお願いします。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/12/13 11:37

　y=x^3-2x　...(1)

　y'=3x^2-2
A(t,t^3-2t)における(1)の接線Lは
　y=(3t^2-2)(x-t)+t^3-2t ...(2)
交点Bの座標は(1),(2)の連立方程式の解としてえられる。
　x^3-2x=(3t^2-2)(x-t)+t^3-2t
　x^3-2x-(t^3-2t)-(3t^2-2)(x-t)=0
　(x-t)(x^2+tx+t^2-2-3t^2+2)=0
　(x-t)(x^2+tx-2t^2)=0
　(x-t)(x+2t)(x-t)=0
接点Aと異なる座標だから　x≠t
　∴x=-2t, y=-8t^3+4t
　B(-2t,-8t^3+4t)
線分ABの中点P(x,y)は
　P(x,y)=((t-2t)/2,(t^3-2t-8t^3+4t)/2)=(-t/2,(-7t^3+2t)/2)
tを消去してx,yの関係式を求めればよい。
　x=-t/2 ⇒ t=-2x ...(3)
　y=(-7(-2x)^3+2(-2x))/2=28x^3-2x
すなわち、中点の軌跡は
　y=28x^3 -2x

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/13 10:07

最後の １行に ミスタイプがあり、訂正します

y ＝ (－ 7 a^3 ＋ 2 a) / 2
から a を消して、
y ＝ 28 x^2 － 2 x

　　　↓

y ＝ 28 x^3 － 2 x
　　　　 ↑

No.2 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/12/13 02:03

計算が面倒くさそうなので、やりたくないのですが・・・。

y = f(x) = x^3 - 2x
微分すると、
f'(x) = 3x^2 -2

接点Aのx座標をaとすると、接線の方程式は、
　y - (f(a)) = f'(a)・(x-a)
　y = (3a^2-2)(x-a) + (a^3-2a)

で、この接線とf(x)の交点は
　x^3 - 2x = (3a^2-2)(x-a) + (a^3-2a)
右辺を左辺に移行して、因数分解すると、
　（x+2a)(x-a)^2 = 0
となる（はず・・・）。
───わたしの計算は怪しいので、まじめに計算してください。
間違っているかもしれない（エヘン）。
しかし、かならず(x-a)^2という項は出てきます。
（なぜだろうか？　考えてみよう！！）
───

ですから、Bのx座標をbとすると、
b = -2a

ABの中点は、((a+b)/2, (f(a)+f(b))/2)
　(a+b) = (a-2a)/2 = -a/2
　(f(a)+f(-2a))/2 = ・・・
それで、中点を（X、Y）とすると、
　X = -a/2　→　a = -2X
　y = (f(a)+f(-2a))/2　　（これはaの多項式なので、 a = -2Xを代入する）
これが求める曲線となります。

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/13 02:02

曲線 y = x^3 -2x 上の

点 A の ｘ座標を a と置くと、y 座標は a^3 - 2a ですので、

点 A は （a, a^3 - 2a）

y = x^3 -2x を微分すると

y’ = 3 x^2 -2

点 A における接線の傾きは、3 a^2 -2

点 A を通り、傾き 3 a^2 -2 の直線は

y － (a^3 - 2a） ＝ ( 3 a^2 -2）　(x - a)

y ＝ （3 a^2 － 2） x －2 a^3

この直線と 曲線 y ＝ x^3 - 2x の交点は

（3 a^2 － 2） x －2 a^3　＝ x^3 - 2x

を解くと、得られます

x で整理すると、

x^3 - 3 a^2 x +　2a^3 ＝ 0

です。点 A で接するということは、
因数分解すると、(x － a)^2 を含むだろうなぁ
と見当を付けて因数分解すると

（x - a）^2　（x + 2a） ＝ 0 と案の定 因数分解できます

となると、点 B は （-2a, -8a^3 ＋ 4a） となります

点 A （a, a^3 － 2a） と 点 B の中点は

（ -a/2, (－7 a^3 + 2a) / 2）

ですので、中点の乗ってる曲線は

x ＝ -a / 2

y ＝ (－ 7 a^3 ＋ 2 a) / 2

から a を消して、

y ＝ 28 x^2 － 2 x