楕円の接線の長さに関する問題

こんにちは。数学の問題で分からないものがあります。


(x/a)^2＋(y/b)^2=1の接線がX軸、およびY軸で交わる点をA、Bとする。この時、線分ABの長さの最小値を求めよ。

という問題です。



自分が考えた解法の手順は以下のようなものです。

・楕円との接点を（ｓ、ｔ）とおくと接線は「（ｙ-t）=-(s×b^2)（x-s）/(t×a^2)」と書くことができる
・接線の式にx=0、y=0を代入すれば交点BとAを求めることができる。
・（ｓ、ｔ）は楕円上の点なので(s/a)^2＋(t/b)^2=1が成り立つ
・A^2＋B^2を上の式を利用してｓかｔの式で表す
・式を変形して最小値を求める


これでうまくいくと思ったのですが、非常に計算が複雑になってしまいました。

複雑すぎるので他の解法があるのかもしれないと思ったのですが、あるのでしょうか？


よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2011/06/13 20:04

楕円

x^2/a^2+y^2/b^2=1
の上の点(p,q)における接線は
px/a^2+qy/b^2=1
で与えられる。よって点A,Bの座標は
A(a^2/p,0),B(0,b^2/q)
線分ABの長さの2乗AB^2は
AB^2=a^4/p^2+b^4/q^2
相加平均、相乗平均の関係から
AB^2=a^4/p^2+b^4/q^2≧2a^2b^2/pq
=が成り立つときに最小値をとり
その時
a^4/p^2＝b^4/q^2 (1)
点(p,q)は楕円上にあるので
p^2/a^2+q^2/b^2=1　　(2)
(1)(2)を満たすp,qは
p=a^2/√(a^2+b^2)
q=b^2/√(a^2+b^2)


この時ABの最小値は

√2(a^2+b^2)

この回答へのお礼

相加相乗平均を使うのですね。

確かにそれをすれば平方完成などをしなくても最小値が求められますね。
ありがとうございます。解決しました。
答えまで書いてくださいましてありがとうございました。

お礼日時：2011/06/15 16:41

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/13 20:40

その流れでよいでしょう。

というか、他にどんな解法が？

最後のところで、
＞ A^2＋B^2を上の式を利用してｓかｔの式で表す
とやるから面倒臭くなるのです。
(s,t) = (a cosθ, b sinθ) と置いて
A^2＋B^2 を θ の式で表せばよい。
とても簡単な式になります。

この回答へのお礼

なるほど極座標に変換すればいいのですね。

そうしたら確かに（t/sinθ）^2+(a/cosθ)^2と簡単な形に整理できました。

この後は♯２さんがおっしゃっているように相加相乗平均を用いて答えが出ました。ABをｓかｔの式で表して平方完成などをしなくても答えが出るんですね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/06/15 16:45

No.1 回答者： dame_dame_ 回答日時： 2011/06/13 17:36

X=x/a,Y=y/bと変換し

(X,Y)座標でのA、Bの値を求めて
(円なので簡単）
それを(x,y)座標での値に変換しなおせば
計算が楽になると思います

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確かに円に変数変換すればXとYの式でA^2+B^2は簡単に求められるのですが、それをまた未知数xとyに変換しなおすとなると、また計算が必要となるので、結局複雑な計算をしなければいけなくなりそうです。

お礼日時：2011/06/15 16:39