微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ

微分について教えてください

放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点における接線の方程式を求めるという問題があります。x=1における接線は点(1,f(1))を通りf'(1)=2の直線となると思います。この後の方程式の求め方が分かりません。解説をお願いします

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/17 14:51

点(p、q)を通り、頃きaの直線の方程式は

y - q = a(x - p)

流石にこれは知っていると思いますが、
接線の傾き=接点での微分係数
を知らないとか？


もう少しわからない点を書いて欲しい。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/17 00:58

＞ 点 (1,f(1)) を通り f’(1)=2 の直線となると思います。

その通り。で、
点 (1,1) を通り傾き 2 の直線の方程式は、 y = 2(x - 1) + 1.
これが解らないのは、中学数学の範囲の問題で、
微分とは直接関係ないような気がする。 f’(1)=2 はもう済んでるからね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/16 18:06

＞定義に従って求め

をやらないといけなのでしょう。

微分の定義から

　f'(1) = lim[h→0]{ [f(1 + h) - f(1)]/h }
　　　= lim[h→0]{ [(1 + h)^2 - 1^2]/h }
　　　= lim[h→0]{ [1 + 2h + h^2 - 1]/h }
　　　= lim[h→0]{ [2h + h^2]/h }
　　　= lim[h→0]{ 2 + h }
　　　= 2　　　　　　①

あるいは
　f'(x) = = lim[h→0]{ [f(x + h) - f(x)]/h }
　　　= lim[h→0]{ [(x + h)^2 - x^2]/h }
　　　= lim[h→0]{ [x^2 + 2hx + h^2 - x^2]/h }
　　　= lim[h→0]{ [2hx + h^2]/h }
　　　= lim[h→0]{ 2x + h }
　　　= 2x
として、x=1 のときには
　f'(1) = 2

接線の方程式は、①を傾きとして
　y = 2x + b
これが接点 (1, 1) を通るので
　1 = 2 + b
→　b = -1
従って
　y = 2x - 1

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/04/16 15:54

y'=2x　なので、

x=1に於けるyの接線の傾きは、2
で良いのでは？

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/04/16 15:46

y=ax+b

とすると、
a=f'(1)=2
b=f(1)-2*1=-1
よって、求める直線は、
y=2x-1