
図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M、 半径bの円柱形剛体が、その中心軸を水平に、空気抵抗を受けずに、 すべらず、 ころがる。 重力加速度をgとする。
円柱の質量分布は一様で、その中心軸のまわりの慣性モーメントは、Mb^2/2、 円柱が円筒から受ける摩擦力をFとするとき、
円柱の重心軌道の接線方向の運動方程式を、 θ(t) を未知関数とする微分方程式を求める。
このとき、円筒中心周りの角運動量を考えることにより微分方程式を求めることはできますでしょうか。
ご教授お願い致します。

No.7ベストアンサー
- 回答日時:
>(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ+aF
これはθ=φ+C
という縛り、つまり
円筒に中心に固定された回転軸が有って
そこから軽い棒が伸びて
円柱と繋がっているイメージですね。
円柱は自由に回転出来ないので「滑らず」は不可。
Fは動摩擦になります。
剛体振り子ですね。
Mc²+I は 棒と一体化した円筒の中心軸を中心に回る円柱の
慣性モーメントです。これは全く別物の運動方程式です。
貴重なお時間をいただき、誠にありがとうございました。
分からなかった点が解決できたと共に、より理解を深めることができました。
本当にありがとうございました。
No.6
- 回答日時:
>運動方程式を、
>(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ ④
>
>という角運動量の形で表せることは理解できました。
>ただ、この式には摩擦力Fによるトルクが表れていないように見えます。
いえ、この式は
>円筒内面がつるつるなら
の場合。つまりF=0
静止摩擦で円柱が回る場合は
{Mc^2 + I(c^2/b^2)}α = -Mgcsinθ
つまり、静止摩擦力の影響で、円柱の重心周りの慣性モーメントが
変化した「ように見える」
ということです。
回答ありがとうございます。
なるほど、勘違いをしていました。
では、
(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ+aF
という式が間違っているのは何故なのでしょうか。
ご教授お願い致します。
No.5
- 回答日時:
さらに補足
めんどくさいので
c = a - b とすると
dθ/dt=ω
d^2θ/dt^2=α
φは円柱の回転量で
dφ/dt=Ω
d^2φ/dt^2=β
とすると
円柱重心の円の接線方向の運動の方程式)
Mcα = F - Mgsinθ ①
となります。円の接線方向なので垂直抗力は無視できます。
Iβ = bF ② (円柱の回転運動の式)
φ = θ - aθ/b + C = - {(a - b)/b} θ + C = (-c/b)θ + C(適当な定数)
β = (-c/b)α ③(2つの各加速度の関係)
②、③ から
F =-I(c/b^2)α
Mcα = -I(c/b^2)α - Mgsinθ
{Mc^2 + I(c^2/b^2)}α = -Mgcsinθ
円筒内面がつるつるなら
{Mc^2 + I}α = -Mgcsinθ
で、Mc^2 + I は円柱の回転軸から見た慣性モーメントですから
静止摩擦によって I の部分が増えたり減ったりすることに
なりますね。面白いですね。
以上の式は解析力学(ラグランジュの運動方程式)からも
同じものが出てくるので、多分合っていると思います。
回答ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。
運動方程式を、
(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ ④
という角運動量の形で表せることは理解できました。
ただ、この式には摩擦力Fによるトルクが表れていないように見えます。
私は最初に、重心の接線方向の運動は重力と摩擦力によって決まると考え、
(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ+aF
という式を考えました。
円筒中心の角運動量を考えればaFというトルクも式に入ってくると思うのですが、なぜ④式にはこの項は入らないのでしょうか。
お時間頂き申し訳ございません。
ご教授お願い致します。
No.4
- 回答日時:
一応指摘しておくと
>F は、おそらく円柱と円筒との摩擦力かと思いますが、
>この摩擦力は円柱の円筒中心回りの回転運動には関係しません。
は間違い。円柱の重心の運動は重力と垂直抗力と静止摩擦で決まります。
Fは無視できません。
回答ありがとうございます。
やはりFは無視できないのですね。理解できました。
それでは、③式を円筒中心周りの、円柱の角運動量を考えることにより、円柱の重心軌道の接線方向の運動方程式を求めることは可能でしょうか。
ご教授お願い致します。
No.3
- 回答日時:
③は合っていると思う。
これと円柱の回転に関する運動方程式が必要。
円柱の回転をφとすると
l(d^2φ/dt^2)=bF ④
φとθの関係は、円筒面を転がってゆくと
面が傾いてくることに注意して
φ=θ-(a/b)θ=-{(a-b)/b}θ ⑤
Fは拘束力だから、消去すると方程式がすっきりします。
⑤を④に代入、それを③に代入すれば
変数はθだけになります。
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
「お礼」に書かれたことについて。>I(d^2θ)/(dt^2)=-(mgsinθ)(a-b)+aF
>
>で正しいでしょうか。
F は、おそらく円柱と円筒との摩擦力かと思いますが、この摩擦力は円柱の円筒中心回りの回転運動には関係しません。
この摩擦力は「円柱自身の中心(重心)周りの回転運動」の原因となるだけです。
従って、円柱の円筒中心回りの回転運動の運動方程式は
I(d^2θ)/(dt^2) = -(mgsinθ)(a - b) ①
となると思います。
それと連立させて「円柱自身の中心(重心)周りの回転運動の運動方程式」も立てる必要があります。
円柱自身の中心(重心)周りの慣性モーメント
I0 = (1/2)Mb^2
を使って
I0・d²φ/dt² = F・a = (mgsinθ)・a ②
そして、円筒中心回りの角度(角速度)と円柱自身の回転角度との間には「滑らない」という拘束条件
aθ = bφ ③
が成り立ちます。
①②③の連立方程式を解けばよいものと思います。
No.1
- 回答日時:
>円筒中心周りの角運動量を考えることにより
「何の」角運動量ですか? 半径 b の円柱の、ですか?
半径 b の円柱は、
・円柱自身の中心(重心)周りの角運動量
・円柱重心の、円筒の中心回りの角運動量
を持ちます。
どちらも「θ」の関数であり、各々の角運動量を求めるには「角速度」が必要であり、それを求めるには「働く力、トルク」と「角加速度」を用いた運動方程式(微分方程式)を考える必要があると思います。
回答ありがとうございます。
円柱の円筒中心周りの慣性モーメントを
I=Mb^2/2+M(a-b)^2
とすると、
I(d^2θ)/(dt^2)=-(mgsinθ)(a-b)+aF
で正しいでしょうか。
宜しくお願い致します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 半径r、質量Mの半円板を円板平面平行に円の中心を回転軸として微小振幅で振り子運動をさせる。このときに 4 2023/08/10 14:08
- 高校 円運動の質問 4 2022/05/02 04:53
- 物理学 物理の問題 3 2022/11/12 17:22
- 物理学 水平な円板のあらい面上で, 中心から距離の位置に質量m の小物体を置いた。0を中心に円板を角速度で回 3 2022/08/07 21:24
- 物理学 電磁気です この問題の電場を求める方法が分かりません ご教示ください z 軸を中心軸として半径 a 1 2023/06/23 11:45
- 物理学 半径rの滑車の両端に質量mのおもりをぶら下げて、片方のおもりを速度vで降下させたとします。 このとき 6 2023/05/09 19:10
- 物理学 電磁気 肉厚が極めて薄く、無限に長い半径aの円筒状導体に定常電流が一様に流れ ている。 アンペールの 3 2023/07/13 12:36
- 物理学 画像のような感じで固定された状態の円柱に糸(質量は無視)をN回巻き付ける。 この糸の一端におもりPを 3 2023/02/19 13:05
- 数学 写真の図は中心(a,b)半径rの円とその円周上の(x1,y1)における接線lと円の中心とlを結ぶ任意 4 2023/08/08 16:20
- 物理学 質量 M,半径αの円板が1つの直径を固定軸として回転できるようになっている。質量mの物体が速さvで円 2 2022/10/21 20:16
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
見学に行くとしたら【天国】と【地獄】どっち?
みなさんは、一度だけ見学に行けるとしたら【天国】と【地獄】どちらに行きたいですか? 理由も聞きたいです。
-
いちばん失敗した人決定戦
あなたの「告白」での大失敗を教えてください。
-
コンビニでおにぎりを買うときのスタメンはどの具?
コンビニでおにぎりを買うとき、何の具材を選ぶことが多いですか?
-
洋服何着持ってますか?
洋服を減らそうと思っているのですが、何着くらいが相場なのかわかりません。
-
集中するためにやっていること
家で仕事をしているのですが、布団をはじめ誘惑だらけでなかなか集中できません。
-
半円筒の重心
物理学
-
偏微分の記号∂の読み方について教えてください。
数学
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
-
4
0の積分
数学
-
5
一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方
物理学
-
6
中が中空の球の慣性モーメントの求め方について
物理学
-
7
質問 大学 物理 円錐の慣性モーメントの求め方
物理学
-
8
コンデンサーの極板間に誘電体を入れるときにはたらく力について。 電源V、コンデンサーC、スイッチSか
物理学
-
9
慣性モーメントについて
物理学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・一番好きなみそ汁の具材は?
- ・泣きながら食べたご飯の思い出
- ・「これはヤバかったな」という遅刻エピソード
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・いちばん失敗した人決定戦
- ・思い出すきっかけは 音楽?におい?景色?
- ・あなたなりのストレス発散方法を教えてください!
- ・もし10億円当たったら何に使いますか?
- ・何回やってもうまくいかないことは?
- ・今年はじめたいことは?
- ・あなたの人生で一番ピンチに陥った瞬間は?
- ・初めて見た映画を教えてください!
- ・今の日本に期待することはなんですか?
- ・集中するためにやっていること
- ・テレビやラジオに出たことがある人、いますか?
- ・【お題】斜め上を行くスキー場にありがちなこと
- ・人生でいちばんスベッた瞬間
- ・コーピングについて教えてください
- ・あなたの「プチ贅沢」はなんですか?
- ・コンビニでおにぎりを買うときのスタメンはどの具?
- ・おすすめの美術館・博物館、教えてください!
- ・【お題】大変な警告
- ・洋服何着持ってますか?
- ・みんなの【マイ・ベスト積読2024】を教えてください。
- ・「これいらなくない?」という慣習、教えてください
- ・今から楽しみな予定はありますか?
- ・AIツールの活用方法を教えて
- ・最強の防寒、あったか術を教えてください!
- ・歳とったな〜〜と思ったことは?
- ・モテ期を経験した方いらっしゃいますか?
- ・好きな人を振り向かせるためにしたこと
- ・スマホに会話を聞かれているな!?と思ったことありますか?
- ・それもChatGPT!?と驚いた使用方法を教えてください
- ・見学に行くとしたら【天国】と【地獄】どっち?
- ・これまでで一番「情けなかったとき」はいつですか?
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・あなたの「必」の書き順を教えてください
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・人生最悪の忘れ物
- ・あなたの習慣について教えてください!!
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
半円筒の重心
-
この記号の意味はなんでしょうか?
-
質問 大学 物理 円錐の慣性...
-
実体振り子の周期が子供に説明...
-
5本足の椅子は4本足に比べて...
-
直交軸の定理とは何ですか?円...
-
2点より3点で支える方が安定...
-
図のように、内半径aの中空の円...
-
慣性モーメントについて
-
慣性のモーメント
-
慣性モーメントと平行軸の定理
-
シャワーで水がはねる原理とそ...
-
豪華客船クイーンエリザベス号...
-
ボルダの振り子 慣性モーメント
-
力学的エネルギーの保存・運動...
-
物理 重心の問題
-
転倒角の求め方
-
二重剛体振り子(ラグランジュ...
-
物理についてです。 写真のよう...
-
おでこを押すと立てない
おすすめ情報
回答ありがとうございます。
円柱の円筒中心回りの回転運動の運動方程式は
I(d^2θ)/(dt^2) = -(mgsinθ)(a - b)
となるとのことですが、
添付の画像の解答例とは形が異なります。
添付の画像は角運動量からの導出ではないですが、式はこれと一致しなくてもよいのでしょうか。
ご教授お願い致します。