この問題の(6)が全然わかりません…授業で解説してもらったんですが、重心速度が一定だというのを使って

Question

この問題の(6)が全然わかりません…授業で解説してもらったんですが、重心速度が一定だというのを使って考えるそうです。重心から見たらAとBは単振動をしているらしいんですが、そこもよくわかりません。重心から見るとAの速度の最大値がv1/3だと言われたのですがそれもわかりません…
(6)が全体的によくわからないので教えていただきたいです。

syotao · Accepted Answer

たぶん授業で出てきていると思うけど
重心Ｏ’を原点、右方向を正とする重心座標系Ｏ’－ｘ’をたてて
ばねの自然長をℓとするとき
Ａが壁から離れた直後以後のこの重心系に対する運動は
Ａについては重心Ｏ’の左側ℓ/3のところを中心にした単振動、
ＢについてはＯ’の右2ℓ/3のところを中心とした単振動になる。
その振動周期は2つともまったく同じＴ＝2π√(2Ｍ/3ｋ）になる。
だからＡが壁から離れた直後はばねが自然長にあるので
このときは重心系から見るとＡ、Ｂともそれぞれの振動の中心にある。
そしてこの時のＡの地面に対する速度は0で重心の速度が一定値ｖ₁/3なので
Ａの重心に対する速度は0-ｖ₁/3＝-ｖ₁/3になる。
重心から見るとAの速度の最大値がv1/3だというのは振動の中心にＡがあるときの
Ａの重心系から見たはやさが今みたとおりｖ₁/3だからです。
この状態からばねがいったんのびきって再び自然長にもどったときは
Ａは再び振動の中心にもどるが、このときのＡの重心に対する速度は＋ｖ₁/3になっている
したがってこのときのＡの地面に対する速度つまり（6）のこたえは
Ｖ＝ｖ₁/3＋ｖ₁/3＝2ｖ₁/3　です。

syotao · Answer

あと、Ａが壁から離れた直後からのＡ、Ｂの重心系から見た運動がなぜ単振動になるか見ておきます。
そのためには、物体が、重心系にたいしてあるきまった点からの変位に比例する引力を受けていることが
示せればよい。
そこで、重心系Ｏ’－ｘ’上の座標-ℓ/3の点のまわりのＡの変位をＸa、同じくＯ’－ｘ’上の座標2ℓ/3の
点のまわりのBの変位をXbとしたとき、
AのＯ’－ｘ’系での座標は-ℓ/3＋Ｘa、BのＯ’－ｘ’系での座標は2ℓ/3＋Xbになるから
AB間の距離は、(2ℓ/3＋Xb)－(-ℓ/3＋Ｘa)＝ℓ＋Xb－Ｘa
したがってこのときのばねの自然長ℓに対するのびは　Xb－Ｘaになるので
Aが受ける力ｆ₁は＝ｋ(Xb－Ｘa)、Bが受ける力ｆ₂は＝－ｋ(Xb－Ｘa)になる。
さて、重心の定義より重心O’の座標0は
{2M(-ℓ/3＋Ｘa)＋M(2ℓ/3＋Xb)}/3M　に等しいので、これから　2Ｘa＋Xb＝0がでる。
したがってこれから上のｆ₁、ｆ₂はそれぞれ　ｆ₁＝－3ｋＸa、ｆ₂＝－(3ｋ/2)Xb　になる。
これから、AはＯ’－ｘ’系の点(-ℓ/3)を中心にした単振動、
Bは点2ℓ/3を中心とした単振動ということになる。
そして、Aはバネ定数3ｋのばねによる単振動と同じで質量は2Mだからその周期はT＝2π√(2Ｍ/3ｋ）
Bはバネ定数3ｋ/2ばねの力による単振動と同じで質量はMだからその周期はやはりT＝2π√(2Ｍ/3ｋ）
で、まったく同じになる。
そして、Aが壁から離れた直後ではＯ’－ｘ’系から見てA、Bとも振動の中心にあり
AはＯ’－ｘ’系から見て速さｖ₁/3で負の向きに、Bは同じ系から見て速度ｖ₁-ｖ₁/3＝2ｖ₁/3
つまり速さ2ｖ₁/3で正の向きに動くからAが壁から離れてからのA、Bの重心系に対する単振動は
お互い逆向きで同じ周期で振動するということになるのです。

yhr2 · Answer

No.1です。「お礼」に書かれたことについて。

＞⑦の式は重心速度=運動量和/質量和
＞なので、質量和をかけると運動量和が出せる、ということですよね？

おっしゃっていることに意味が分かりませんが、

(合計質量) × (重心速度) = Σ(各々の運動量)

の方から

(重心速度) = Σ(各々の運動量)/(合計質量)

が求まるという論理的な道筋かと思います。
両方が等価であるということが分かっていて、計算手順として逆向きに計算して値を求めることはあると思いますが。

yhr2 · Answer

(1)～(5) はしっかり理解できたのですね。

(1) 完全弾性衝突なので、反発係数 e=1 （衝突前後の相対速度が逆向きで大きさが等しい）の条件から求まります。
　つまり、衝突前のＣの速度を u0 (u0<0）、Ｃの質量を m とすると、相対速度の比より
・反発係数：e = [u1 - (-v1)]/(-u0 - 0) = 1
より
　u0 = -(u1 + v1)

(2) 衝突直後のＢの運動エネルギーと、もっともばねが縮んだとき＝Ｂの運動エネルギーがゼロとなったときの「ばねの弾性エネルギー」のエネルギー保存から求めます。
　つまり、
　　(1/2)M(v1)^2 = (1/2)kx^2
より
　　x^2 = (M/k)(v1)^2
→　x = v1√(M/k)

(3) 物体Ｂの運動方程式から求まります。
　自然長からの縮み x のときにＢに働く復元力は
　　F = -kx
なので、物体Ｂの加速度を a とすると、運動方程式は
　　-kx = Ma
よって
　　a = -(k/M)x

「微分」を理解しているなら、a = d²x/dt² なので、この微分方程式を解いて一般解は
　　x = Aω^2･[sin(ωt) + cos(ωt)]
より
　ω^2 = k/M
つまり周期 T0 は
　T0 = 2パイ/ω = 2パイ√(M/k)

「微分」が分からない場合には、これは「公式」として覚えておくしかありません。
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/banehuriko.html

問題の T は、この「単振動」の (1/2)周期なので
　T = (1/2)T0 = パイ√(M/k)

「問2」で、なぜＡが壁から離れるのかは分かるのですよね？
Ｂが衝突位置（ばねの自然長）に戻ったところで、ばねの復元力（ばねを伸ばそうとする力）はゼロになっているので、Ａが壁を押す力、およびその反作用で壁がＡを押し返す力はゼロになります。つまり、それ以降は「Ａ、ばね、Ｂ」で構成する系には外力は働きません。つまり「等速直進運動」をします。
何が「等速直進運動」をするかといえば、「Ａ、ばね、Ｂ」で構成する系の重心です。「Ａ、ばね、Ｂ」の各々がどんな運動をするかは「内力」によって変わりますが、外から見れば「加わる力はゼロ」なので、重心は「等速直進運動」をするのです。
まず、これを理解することが第一です。

次に、では「Ａ、ばね、Ｂで構成する系の重心」に対して、Ａ、Ｂはそれぞれどんな運動をするか、ということです。これは「静止しているＡ、ばね、Ｂ」に対して、Ｂに(4)の速度を与えたところから始まる運動です。
物体Ａが壁から離れるときのＢの速度は、エネルギー保存から、衝突した直後と同じ大きさの逆向きだということは分かりますね？

(4) ＡとＢの速度が等しくなったということは、それは「重心」の速度と一致したということです。重心の速度は、物体Ａが壁から離れるときのＢの速度、そしてＡの速度=0 から求まります。それが(4)。
つまり、これは「運動量保存」ということで
　Mv1 = (M + 2M)v2
よって
　v2 = (1/3)v1

(5) そのときには、(2)と違ってＡもＢも動いているので、運動エネルギーがゼロにはなりません。つまり、エネルギー保存において、「ＡとＢの運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和」が、最初の衝突直後のＢの運動エネルギーから保存されているということです。これで(5)が求まります。
つまり
　(1/2)M(v1)^2 = (1/2)(M + 2M)(v2)^2 + (1/2)ky^2
→　(1/2)M(v1)^2 = (3/2)M(v2)^2 + (1/2)ky^2

上の(4)より v2 = (1/3)v1　なので
　(1/2)M(v1)^2 = (3/2)M(1/9)(v1)^2 + (1/2)ky^2
→　(1/2)M(v1)^2 = (1/6)M(v1)^2 + (1/2)ky^2
→　(1/2)ky^2 = (1/3)M(v1)^2
→　y^2 = (2M/3k)(v1)^2
→　y = v1√(2M/3k)

(6) ここまでが分かっているなら、(6)はその延長線上にあります。
ばねの長さが自然長に戻ったということは、ばねの弾性エネルギーはゼロということです。つまり保存されているエネルギーは、「ＡとＢの運動エネルギー」だけということです。
これと、「ＡとＢの速度と、重心位置の速度」の関係、つまり「運動量保存」の考え方が分かれば解けるはずです。
つまり、そのときのＢの速度を v2' とすると
　(1/2)M(v1)^2 = (1/2)M(v2')^2 + (1/2)(2M)V^2　　⑥
かつ「ＡとＢの速度と、重心位置の速度」の関係（重心位置の速度は(4)のまま維持）
　Ｍv2' + (2M)V = (M + 2M)(1/3)v1　　　⑦
⑦より
　v2' = (Mv1 - 2MV)/M = v1 - 2V
なので、これを⑥に代入して（面倒なので全体を2倍して）
　M(v1)^2 = M(v1 - 2V)^2 + 2MV^2
→　M(v1)^2 = M(v1)^2 - 4Mv1･V + 4MV^2 + 2MV^2
→　6MV^2 - 4Mv1･V = 0
→　MV(3V - 2v1) = 0
MV≠0 なので
　3V - 2v1 = 0
→　V = (2/3)v1

(7)は、要するに「重心位置の速度」よりも「Ｃの速度」の方が大きいということです。
「重心位置の速度」は(4)より (1/3)v1、「Ｃの速度」は u1 ですから
　(1/3)v1 < u1

つまり、すべて「運動量保存」と「力学的エネルギー保存」から解けるということです。
(3) だけは「単振動の公式」を知らないといけませんが。（運動方程式と微積分を知っていれば、公式を覚えなくとも解けます）

この問題の(6)が全然わかりません…授業で解説してもらったんですが、重心速度が一定だというのを使って

たぶん授業で出てきていると思うけど

あと、Ａが壁から離れた直後からのＡ、Ｂの重心系から見た運動がなぜ単振動になるか見ておきます。

No.1です。

(1)～(5) はしっかり理解できたのですね。

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