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水平な床に敷いたじゅうたんの上に質量M, 半径aの球をおく。 ある瞬間から 一定の加速度αでじゅうたんを横に引張った。 その後の球の重心の位置xと時間tとの関係を求めよ。


この問題を以下のように解きました。

まず、球にはたらく摩擦力をf、じゅうたんの上から見たときの、球の重心の位置をXとして、
Mx"=f-Mα
Iθ"=af
のように運動方程式を立てました。

ここで、X=aθ、X"=α-x"として、上の2つの式からfを消去してxを求めると、x=-3/4αt^2という答えになりました。

しかし、解答は1/7αt^2となっており、答えが合いませんでした。この解き方のどこが間違っているのでしょうか。
ご教授よろしくお願い致します。

A 回答 (5件)

Xはxと逆方向を正としているのですか?


それはやりにくいですね。
θも反時計回りを正とします。

MX''=-f+Mα→f=M(-X''+α)
#摩擦は右を正としたので、MX''は左向き正だからfにはマイナスが付く。
#右に引っ張ると慣性力は左向だからプラス
aθ=X→θ''=X''/a
#θは絨毯にたいして左へ動くと増えるからXと同符号
Iθ''=af
→(2/5)Ma²・X''/a=aM(-X''+α)
→(7/5)X''=α → X''=(5/7)α

x''=α-X''=(2/7)α

以上ですが、方向を揃えないと
頭痛くなりますね。不要に難しくしていると思います。
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この回答へのお礼

ありがとう

何度もご回答頂き、本当にありがとうございました。とても分かりやすかったです。助かりました。

お礼日時:2022/10/25 16:38

絨毯に対する球の移動量(右を正)をXとすると


MX''=f-Mα→f=M(X''+α)
aθ=X→θ''=X''/a
Iθ''=-af
→(2/5)Ma²・X''/a=-aM(X''+α)
→(7/5)X''=-α → X''=-(5/7)α

x''=X''+α=(2/7)α

でおんなじです。

ところで、なんで X''=α-x'' なんでしょ?
絨毯に対する相対位置では無い?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。

絨毯の上の球は、絨毯の上から見ると、絨毯を引っ張るのと逆方向に転がるので、絨毯の上を転がった距離はaθだから、床から見た球の座標xは、
x=1/2αt^2-aθ
と表せるので、aθ=Xとして、
x=1/2αt^2-X
両辺を二回微分して、
x"=α-X"
より、
X"=α-x"
と求めました。

何度もお時間を頂き、申し訳ございません。ご回答の程よろしくお願い致します。

お礼日時:2022/10/25 15:43

慣性モーメントが2/5Ma^2で球がじゅうたんの上をすべらずに


ころがるなら、たしかにx''=2/7αですよね。
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No1を補足しておくと、多分θの向きかな?


xは右の正、絨毯は右方向に引き、θは時計方向を正とすると
球が右へ移動するとθは増えるが、絨毯の移動の分だけ減る。
つまり
θa=x-絨毯の移動距離
2階微分して
θ''a=x''-α
摩擦力はθを反時計回りに回すから
Iθ''=-af

で、質問者さんが符号を間違えたにしても
x''=-(2/3)α
になる筈なので、まだ計算違いがある筈。

x''=-(3/2)α
と計算しているようだけど
絨毯の加速度より、上に載った球の加速度の方が大きくなるのは
おかしいから、間違えているのは答えを見なくてもわかる。
計算間違いを点検しよう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

質問文の式を間違えていました。正しくは、
MX"=f-Mα
Iθ"=af
です。申し訳ございません。

仰ったことは理解できたのですが、私の解き方がダメな理由がまだわかりません。

絨毯の引く方向を正とし、まず、絨毯の上から見たときの座標Xで運動方程式を立てて(球にかかる力は摩擦力と慣性力)、その後に、外から見たときの座標xの式に直し(X"=α-x")、xについて解きました。

最初から外から見たとして解くか、絨毯の上から見たとして解くかの違いだと思うのですが、何が行けないのでしょうか。

ご教授お願い致します。

お礼日時:2022/10/25 13:24

これ、玉は滑らないという想定なんだよね?


Mx''=f ①
Iθ''=-af ②
θ''=(x''-α)/a
I=(2/5)Ma²

Mx''=-Iθ''/a=-(2/5)M(x''-α)
x''=(2/7)α
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