長さaの軽い棒の各端に質量mの物体A,Bを取り付け、なめらかな床の上におき、これを棒の中点Oを中心と

長さaの軽い棒の各端に質量mの物体A,Bを取り付け、なめらかな床の上におき、これを棒の中点Oを中心として鉛直軸まわりに角速度ω0で回転させる。
これに質量mの物体cを近づけたところ、BとCが衝突して一体となった。

(1)３個の物体からなる系の重心のまわりの角運動量の大きさを求めよ
(2)重心のまわりの衝突後の角速度の大きさを求めよ

解答によると、衝突前の角運動量は、
Lo = (a/3)・m・(a/2)ωo + (2a/3)・m・(a/2)ωo = (1/2)ma^2ωo.

衝突後の角運動量は、
L = (a/3)・2m・(a/3)ω + (2a/3)・m・(2a/3)ω

となると書いてあるのですが、なぜ衝突後の式は、v=rωのrが、a/2からa/3、2a/3に変わっているのでしょうか。

ご教授よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/09 20:07

問題の現象がどうなっているのかよくわかりませんが、C はどのように衝突して、どのように一体になったのでしょうね。

途中の過渡変化を考えずに、単純に「使用前」「使用後」を「平衡状態」として考えると、

(i) 使用前：
　長さ a の棒の中心（端部からそれぞれ a/2 の距離）を中心に回転

(ii) 使用前：
　質量が一方は m、他方は 2m なので、その重心である「A から (2/3)a, BC から (1/3)a」の位置を中心に回転

角運動量は、大きさだけを考えると
　L = rp = rmv = rm･rω = mr^2･ω

(i) の角運動量は、2つの質点とも r=a/2 ですから
　L0 = m(a/2)^2･ω0 + m(a/2)^2･ω0 = (1/2)ma^2･ω0

(ii) の角運動量は、回転中心からの距離が (1/3)a, (2/3)a なので
　L = m[(2/3)a]^2･ω + 2m[(1/3)a]^2･ω
　　= (2/3)ma^2･ω

お書きになっている「衝突前」の L0 の意味がよくわかりません。

この回答へのお礼

非常に分かりやすかったです。助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/10 13:14

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/09 21:56

衝突の状況がはっきりしないけど

Cが棒の中心に対して充分ゆっくりと近づいてきたと仮定しましょう。

衝突前、重心まわりの角運動量は
m(a/2)²ω0×2=(1/2)ma²ω0
重心に対して静止している点回りの角運動量は、
重心まわりの角運動量と同じたから
Lo = (a/3)・m・(a/2)ωo + (2a/3)・m・(a/2)ωo = (1/2)ma^2ωo.
は衝突後の重心まわりの衝突前の角運動量を表しているのでしょう。

a/2とか2a/3とかは衝突後の重心と両端との距離ですね。

仮定の通りCはゆっくり動いていて
新しい重心に対して運動量を持たないとすると
衝突による内力で角運動量は変化しないので
L=L0

となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2022/10/10 13:14