円偏光でのiについて

はじめまして。

現在物理学科で円偏光について学んでいるのですが、

右回り・左回りの円偏光についてなぜ式に「i」がでて

くるのか理解できません。

どのような理由で「i」げでるのか、教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2007/05/05 19:06

再びお邪魔します。

余談ですが、
工業高校や大学で交流回路の計算をするとき、π／２の位相のずれをｊという文字で表します。
虚数単位をｉと書くと電流の記号ｉと間違えられてしまうので、単に隣の文字であるｊを使っているのです。
やはり、微分積分を容易にするためです。

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/altern/al …

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=770119

No.2 回答者： chiezo2005 回答日時： 2007/05/05 19:03

偏光の話とそれを数学的に記述するために「i」を使うというのは物理的に本質的な話ではありません。

光自体は物理的な存在なのでもちろん虚数で表現されるものではありません。
しかし，
光のような波動の屈折，吸収，偏光などを表現するのに，cos(ωt）で記述すると見た目が複雑になり統一的に記述できなくなりますが，exp(iωt）で記述することにより，きわめて統一的に記述できるようになります。したがって，波を扱う分野では頻繁に複素数表現が出てくることになります。
（量子力学はちょっと意味がことなりますので注意してください）

偏光の本質は以下のページに詳しく書いてありますので，それを見てよく理解してください。
現象を理解していれば，数学的にどう表現しても理解できるとおもいます。

参考URL：http://www.anfoworld.com/Lights.html#polarization

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2007/05/05 18:48

こちらにまっすぐ向かってくる偏光を見たとき、

直線偏光であれば、振動は一次元に見えます。
それは、ｘ方向振動とｙ方向振動との位相が一致しているからです。
振動は、たとえば、
ｘ＝cos(ωｔ)
で表すことができます。

しかし、円偏光は、ｘ方向振動とｙ方向振動との位相が、ちょうどπ／２（あるいは－π／２）だけずれていますから、sin と cos とはπ／２ずれるので、
ｘ方向振動　＝　cos(ωｔ)
ｙ方向振動　＝　sin(ωｔ）
ベクトルで書けば、（cos(ωｔ)，sin(ωｔ)）
というふうに表すことができます。

ところが、複素数を使えば、円偏向をもっと簡単に記述できます。
ｘ方向を実部、ｙ方向を虚部として、
cos(ωｔ) ＋ ｉ・sin(ωｔ)　＝　ｅ^(iωｔ)　　（オイラーの公式）
これは、ｔ＝０、ｘ座標＝１、ｙ座標＝０　を始点とする、左回りの円運動になります。
右回りを表すには、ωかｔを負にすればよいので、ｅ^(－iωｔ)　となります。

三角関数は、計算するのに手間がかかるので、オイラーの公式を利用して複素指数関数のほうが便利なのです。

たとえば、微分をするときも
ｘ方向　　cos(ωｔ)→－ωsin(ωｔ)
ｙ方向　　sin(ωｔ－ωsin(ωｔ)
ベクトル　（－ωsin(ωｔ)，－ωsin(ωｔ)）
・・・というふうに、マイナスが付いたりつかなかったり、sinがcosになったりして煩わしいですし、その上、ベクトルの成分表示が必要です。

それを、複素指数関数にしてしまえば、
ｅ^(iωｔ)
　→　１回微分して　ｉω・ｅ^(iωｔ)
　→　もう１回微分して　－ω^2・ｅ^(iωｔ)
・・・・・
　→　ｎ回微分して　ｉ^n・ω^n・ｅ^(iωｔ)
というように、非常に楽です。