重力加速度

北極点での重力加速度の大きさを1としたときの北緯35°での重力加速度の比の値を求める問題です。
文字を設定して計算してみたんですが、うまく文字を消せず求められません。
解き方を教えて欲しいです。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/24 23:27

地球の自転による遠心力の影響を加味した重力加速度を計算しようとしているのかな。

地球を真円回転体と仮定し、北極点での重力加速度をg、赤道での遠心力による加速度をa、緯度をθとすると、

g-(g-a)cosθ

となる。
北極点での重力加速度を1に規格化しているので、

1-((g-a)/g)cosθ

となる。
北極点では約9.83m/s^2、赤道では約9.78m/s^2となるため、

1-((9.83-9.78)/9.83)cosθ
≒1-0.005cosθ

となる。
地球を楕円回転体と仮定した場合、角度計算が複雑になるため省略。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/24 23:53

少し訂正。

赤道での遠心力の影響を受けた時の重力加速度をaとする。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/25 00:43

重力は地球の「質量」、遠心力は「回転速度」に基づくものであり、両者に共通要因はないので「うまく文字を消す」などということはできないと思いますが。

北緯35度での自転半径は、地球の半径を R とすれば
　R*cos(35°)
なので、この半径での遠心力が働きます。
この地面に垂直な方向の成分は
　R*cos^2(35°)
になります。

重力は、地表面にあるものの質量を m、地球の質量を M として
　Fg = GMm/R^2　　　①
遠心力は、地球の自転の角速度を ω、緯度を θ とすると
　ω = 2パイ/(24[H] * 60[min] * 60[s]) = パイ/43200 [rad/s]
で
　Fa = mrω^2 = mω^2 *R*cos^2(θ)　　　　②

北極の重力は①、緯度 θ の重力は ① - ② なので、その比は

　[GMm/R^2 - mω^2 *R*cos^2(θ)]/(GMm/R^2)
= 1 - mω^2 *R*cos^2(θ)/(GMm/R^2)
= 1 - ω^2 *R^3*cos^2(θ)/(GM)　　　　　　③

で、これ以上には簡単にならないと思います。

試算してみれば、赤道では θ=0 なので

③ = 1 - ω^2 *R^3/(GM)
　= 1 - (パイ/43200 [1/s])^2 * (6.371 * 10^6 [m])^3 / (6.6743 * 10^(-11) [m^3/(kg･s^2)] * 5.972 * 10^24 [kg]
　≒ 1 - 0.0034 = 0.9966 = 99.66％

赤道での遠心力は重力の約 0.34% ということです。

なので、θ = 35° では

③ = 1 - ω^2 *R^3*cos^2(35°)/(GM)
　 ≒ 1 - 0.0023
　 = 0.9977 = 99.77%

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/25 09:22

地球=真球で計算すると

重力加速度が地面に垂直ではなくなるとして解くと

g′^2=(gcosθ-Rcosθω^2)^2+(gsinθ)^2
=g^2-2gRω^2(cosθ)^2+(Rcosθω^2)^2
=g^2{1-2Rω^2(cosθ)^2/g + (Rcosθω^2)^2/g^2}

Rω^2/g≒0.0035
なので3項目を無視すると
AN02と一致すると思います。

もっとも地球は赤道が膨らんでいるし、
他にも変動要因があるので
第3項まで求める意味はあまりありませんが・・・

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/10/25 09:40

>AN02と一致すると思います

訂正 ANO3