プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

質量mの物体を初速度v0で鉛直上方に投げ上げたとき以下の問いに答えよ。ただし重量加速度の大きさをg、鉛直上向きにy軸をとるものとする。なお、必要なら速度vに対してdv/dt=(dy/dt)(dv/dy)=vdv/dyとなることを用いよ。

(a)物体に摩擦による抵抗が働かないとき、物体の最高点での高さを求めよ。
(b)物体に速度に比例する摩擦力mkvが働くとき(kは正の定数)、物体の最高点での高さを求めよ。
(c)物体に速度の二乗に比例する摩擦力mk'v^2が働くとき(k'は正の定数)、物体の最高点での高さを求めよ。

よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

実は(a)でもdv/dt=vdv/dyが使える:


この場合運動方程式は mvdv/dy=-mg vdv/dy=-g
vdv/dy=(d/dy)(1/2v²) だから(d/dy)(1/2v²)=-g
積分して 1/2v²=-gy+C 投げ上げ時はv=v₀、y=0だから
C=1/2v₀²したがって1/2v²=-gy+1/2v₀²、最高時にはv=0で
この時の高さhは 0=-gh+1/2v₀² から
h=v₀²/2g といういつもの式がでる。
    • good
    • 0

(b) 物体に速度に比例する摩擦力mkvが働くとき


  dv/dt = - g - kv
を解いてv(t)を計算し、それを積分してy(t)を出してもいいのだが、いやこれは、あからさまに時間変数tを出さない運動方程式(ラプラス方程式、ハミルトン方程式)への入門のための練習問題ではないかな。
  dv/dt = (dv/dy) (dy/dt) = v (dv/dy)
を使って
  v (dv/dy) = - (g + kv)
より変数分離法で
  ∫(v/(g + kv)) dv = ∫dy
を計算する。積分定数は初速v0で決まり、最高点はv=0で決まる。

(c)物体に速度の二乗に比例する摩擦力mk'v^2が働くとき
一般には
  dv/dt = -g - sgn(v) k'(v^2) (sgn(v)はvの符号(1か-1)、ただしsgn(0)=0)
であることに注意が必要だが、この問題ではv≧0の範囲だけを考えれば足りるので
  v (dv/dy) = - (g + k'(v^2))
以下(b)と同様。
    • good
    • 0

>dv/dt=(dy/dt)(dv/dy)=vdv/dyとなることを用いよ



こういう指定があるということは大学生ですよね?
講義でやっているのでは?

(a) 抵抗がなければ単純な「等加速度運動」です。(高校物理の範囲)
 a = -g
 v(t) = v0 - gt         ①
 y(t) = v0・t - (1/2)gt^2    ②

最高点では v=0 となるので、そのときの時刻を T とすれば、①より
 v(T) = v0 - gT = 0
→ T = v0/g
そのときの変位(投げ上げ位置からの高さ)は、②より
 y(T) = v0(v0/g) - (1/2)g(v0/g)^2
   = (v0)^2 /g - (1/2)(v0)^2 /g
   =(1/2)(v0)^2 /g
   =(v0)^2 /(2g)

(b) 物体に速度に比例する摩擦力mkvが働くとき、運動方程式は
 ma = -mg - mkv
→ a = -g - kv
ここで
 a = dv/dt
なので、
 dv/dt = -g - kv    ③
これを解いて
 ∫[1/(g + kv)](dv/dt)dt = -∫dt
→ ∫[1/(g + kv)]dv = -∫dt
→ (1/k)log|g + kv| = -t + C1
→ log|g + kv| = -kt + kC1
→ g + kv = ±e^(-kt + kC1)
→ v = ±(1/k)e^(-kt + kC1) - g/k
   = ±(1/k)e^(-kt)・e^(kC1) - g/k
   = Ce^(-kt) - g/k   ← ±(1/k)e^(kC1) = C とおいた
t=0 のとき v=v0 なので
 v(0) = C - g/k = v0
→ C = v0 + g/k
よって
 v(t) = (v0 + g/k)e^(-kt) - g/k    ④

④を t で積分すれば
 y(t) = -(1/k)(v0 + g/k)e^(-kt) - (g/k)t + C2
t=0 のとき y(0)=0 なので
 y(0) = -(1/k)(v0 + g/k) + C2 = 0
→ C2 = (1/k)(v0 + g/k)
よって
 y(t) = (1/k)(v0 + g/k)[1 - e^(-kt)] - (g/k)t    ⑤

あとは、(a) と同じように
・④で v(T)=0 となる T と求め
・その T を⑤に代入
すれば答は求まります。

ちょっと計算が面倒なのでパスします。

↓ 下記にフルの解答がありました。参考まで。
https://www.icrr.u-tokyo.ac.jp/~yuzu/lecture/201 …

(c) さらに同じように、運動方程式
 ma = -mg - mk'v^2   ⑥(上昇時)
 ma = -mg + mk'v^2   ⑦(下降時)
を解く必要があります。

ここでは「最高点まで」を解けばよいので⑥のみでよさそうです。

a=dv/dt を使って
 dv/dt = -g - k'v^2   ⑧

これを解けば
 ∫[1/(g/k' + v^2)]dv = -k'∫dt   ⑨

左辺は、
 v = [√(g/k')]tan(p)
と置く置換積分かな。
そうすれば
 dv/dp = [√(g/k')]/cos^2(p)
なので
 ∫[1/(g/k' + v^2)]dv = ∫{1/[g/k' + (g/k')tan^2(p)]}{[√(g/k')]/cos^2(p)}dp
= [1/√(g/k')]∫{1/[cos^2(p) + son^2(p)]}dp
= [1/√(g/k')]∫dp
= [1/√(g/k')]p + C3

よって⑨は
 [1/√(g/k')]p = -k't + C4
→ p = -[√(gk')]t + C5

p を v に戻して
 v = [√(g/k')]tan{-[√(gk')]t + C5}

t=0 のとき v=v0 なので
 v0 = [√(g/k')]tan{C5}
よって
 C5 = arctan[v0/√(g/k')]

従って
 v = [√(g/k')]tan{-[√(gk')]t + arctan[v0/√(g/k')]}   ⑩


ここで、問題文で与えられた「dv/dt = (dy/dt)(dv/dy) = vdv/dy」を使って
⑧より
 vdv/dy = -g - k'v^2
→ dv/dy = -(g + k'v^2)/v
→ ∫[v/(g + k'v^2)]dv = -∫dy    ⑪

q=g + k'v^2 とおけば
 dq/dv = 2k'v
→ vdv = (1/2k')dq
なので
 左辺 = ∫[v/(g + k'v^2)]dv
= ∫[1/q](1/2k')dq
= (1/2k')log|q|
よって⑪は
 (1/2k')log|q| = -y + C6
→ y = C6 - (1/2k')log|q|

q を戻して
 y = C6 - (1/2k')log(g + k'v^2)

t=0 のとき v=v0, y=0 なので
 0 = C6 - (1/2k')log[g + k'(v0)^2]
よって
 C6 = (1/2k')log[g + k'(v0)^2]
従って
 y = (1/2k')log[g + k'(v0)^2] - (1/2k')log(g + k'v^2)
  = (1/2k')log{[g + k'(v0)^2]/(g + k'v^2)}

最高点では v=0 なので
 ymax = (1/2k')log{[g + k'(v0)^2]/g}
= (1/2k')log[1 + (k'/g)(v0)^2]

(c) の後半は計算間違いをしているかも。
ご自分でもトレースしてください。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!