加速度aと糸の張力T(図a〜d)あるいは物体間の垂直抗力N(図e,f)を求めよ。ただしm＜M、摩擦は

Question

加速度aと糸の張力T(図a〜d)あるいは物体間の垂直抗力N(図e,f)を求めよ。ただしm＜M、摩擦はないとする
という問題でeとf以外は物体の一体化で考えることができますよね？eとfも物体の一体化で考えても解けるのでしょうか？

yhr2 · Accepted Answer

個別の物体に働く力と、それによる加速度を「運動方程式」として記述し、それを解けばよいです。

(a) m に働く力：
　上向きに F
　下向きに重力 mg
　下向きに張力 T
加速度を上向きに a とすれば、運動方程式は
　ma = F - mg - T　　　①

M に働く力：
　上向きに張力 T
　下向きに重力 Mg
加速度は m と同じ a なので、運動方程式は
　Ma = T - Mg　　　　　②

①②の連立を解けば、① + ②より
　ma + Ma = F - mg - Mg
→　a = (F - mg - Mg)/(m + M)

これを②に代入すれば
　T = Ma + Mg = M(F - mg - Mg)/(m + M) + Mg
　　= [M(F - mg - Mg) + M(m + M)g]/(m + M)
　　= [M/(m + M)]F

もちろん、① × M - ② × ｍ より
　0 = Ｍ(F - mg - T) - m(T - Mg)
→　(m + M)T = MF
→　T = MF/(m + M)
と直接求めてもよい。

(b) m に働く力：
　下向きに重力 mg
　上向きに垂直抗力 N
　右向きに張力 T
　左向きに摩擦力 μ'N
加速度を右向きに a とすれば、運動方程式は
　mg - N = 0　　　③
　ma = T - μ'N　　　④

M に働く力：
　上向きに張力 T
　下向きに重力 Mg
加速度は m と同じ a （ただし下向き）なので、運動方程式は
　-Ma = T - Mg　　　　　⑤

③④⑤の連立を解けば、③より
　N = mg
これを④に代入して
　ma = T - μ'mg　　　　⑥
⑤ × m + ⑥ × M より
　0 = m(T - Mg) + M(T - μ'mg)
→　(m + M)T = Mmg(1 - μ')
→　T = Mmg(1 - μ')/(m + M)

以下同様。(c)(d) は (b) の変形です。

＞eとfも物体の一体化で考えても解けるのでしょうか？

「一体化」って、要するに「加速度は共通」ということですよね？
当然、(e)(f) も (a)～(d) と全く同じやり方です。

(e) m に働く力：
　下向きに重力 mg
　上向きに垂直抗力 N
加速度を上向きに a とすれば、運動方程式は
　ma = N - mg　　　　⑦

M に働く力：
　下向きに重力 Mg
　下向きに垂直抗力 N（m からの反作用)
　上向きに F
加速度は m と同じ a なので、運動方程式は
　Ma = F - Mg - N　　　　　⑧

⑦⑧の連立を解けば、⑦ × M - ⑧ × m より
　0 = M(N - mg) - m(F - Mg - N)
→　(m + M)N = mF
→　N = mF/(m + M)

(f) 力学的には (e) と全く同じですね。

m に働く力：
　下向きに重力 mg
　上向きに垂直抗力 N
加速度を上向きに a とすれば、運動方程式は
　ma = N - mg　　　　⑨

M に働く力：
　下向きに重力 Mg
　下向きに垂直抗力 N（m からの反作用)
　上向きに F
加速度は m と同じ a なので、運動方程式は
　Ma = F - Mg - N　　　　　⑩

⑨⑩の連立を解けば、⑨ × M - ⑩ × m より
　0 = M(N - mg) - m(F - Mg - N)
→　(m + M)N = mF
→　N = mF/(m + M)

tknakamuri · Answer

一体化で全体の加速度は求まるね。
その加速度でmが動くための垂直抗力も求まるけど
でも、それを「一体化」で解いたとは言えないでしょう。

stomachman · Answer

重力については何も書いてない。てことは、b, c, dでは加速度なんか生じないのは自明でしょう。

個別の物体に働く力と、それによる加速度を「運動方程式」として記述し、それを解けばよいです。