角運動量とＫ.E.変化について 半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'

角運動量とＫ.E.変化について





半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'(<r)になったとき速度は角運動量保存則により速くなるのはわかるのですが
糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこないのですがなぜ増加するのか教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/23 11:27

No.1&3です。

各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
　E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2　　　①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
　E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2　　　②

角運動量が保存されれば
　L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 ＝const
より
　ω2 = (R1/R2)^2 *ω1　　　③

よって②は、③を使って
　E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
　　 = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
　　 = (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
　　 = E1 * (R1^2/R2^2)　　　④
となることが分かります。（半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります）

一方、回転半径が r のときの遠心力は、外向きに
　F = ｍ*r*ω^2
であり、角運動量が一定なら L=m*r^2*ω＝const より
　ω = L/(m*r^2)
なので、遠心力は
　F = L^2/(m*r^3)
と書けます。

この遠心力に逆らって、半径方向に微小変位 dr 分だけ移動するのに要する仕事は、（力）×（変位）なので
　dW = -F*dr = -[ L^2/(m*r^3) ]dr

従って、半径 R1 から R2 に変化させるのに必要な仕事の総量は
　W ＝ ∫[R1→R2][ -L^2/(m*r^3) ]dr
　　 = L^2/(2m)[ 1/r^2 ][R1→R2]
　　 = L^2[ 1/R2^2 - 1/R1^2 ] /(2m)
　　 = (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]

ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
　W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
　　 = E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2　　　　　　　　　　⑤
ということになります。
　半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。

①④より、運動エネルギーの差は
　E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。

以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2016/09/23 16:10

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/09/21 22:17

＞糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず

ここが間違ってます。垂直にはなりません。

糸を引いた場合は、物体はらせんを描いて中心に近づきますが
この時の物体のコース(軌跡)と糸の方向は垂直ではありません。

絵を描けばすぐにわかります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/21 18:51

No.1です。

「増加はしていません」というのは、間違いですね。
半径を小さくするために、重りを「遠心力に逆らって、半径の差」だけ移動するために加えた「仕事」分だけ運動エネルギーは増加します。

この加えた「仕事」分を考慮すれば、トータルの「力学的エネルギー」は増加していない、ということです。

No.2 回答者： iresmoh 回答日時： 2016/09/21 18:12

等速円運動では、力は常に回転の中心方向に働いています（向心力）。

（ちなみに、物体の加速度も中心方向です）

向心力の方向（中心向き）に動かす（変位をつくる）と、
→仕事＝向心力×変位
を与えるため、運動エネルギーが増加します。

（実際には、半径方向で向心力が変化するため、積分が必要）

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2016/09/21 21:57

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/21 18:11

＞物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこない

そうですよ。増加はしていません。

　回転運動の運動エネルギーは、慣性モーメントを I として
　　E = (1/2)Iω²
です。
　半径が小さくなって「角速度 ω」は大きくなりますが、回転半径が小さくなるので「慣性モーメント I 」は小さくなります。

　通常の
　　E = (1/2)mv²
を使って運動エネルギーを計算する場合には、回転運動の半径を r として
　　v = rω
より
　　E = (1/2)mr²ω²
です。「角速度 ω」は大きくなりますが、「回転運動の半径： r 」は小さくなりますよね。