No.2ベストアンサー
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地球中心を原点に球座標(r,θ,φ*)を設定します。
緯度としてφを使われているので、経度をφ*としました。緯度は、φ = π/2 - θ となります。ωは自転の角速度です。θ方向の運動は小さいので無視します(これがコリオリ力の効果になります)。また、高さによる重力の変化も無視できるものとします。以下「'」で時間微分を表します。投げ上げる物体の質量を m とすると、
r方向の運動方程式より、 m r '' = - m g ∴ r = R + v t - 1/2・g t^2
角運動量保存により、 m r × r cosφ・φ* ' = m R × R cosφ・ω
両式より r を消去します。
φ* ' = [R/(R + v t - 1/2・g t^2)]^2・ω
= [1 + (v t - 1/2・g t^2)/R]^-2・ω
≒ [1 - 2(v t - 1/2・g t^2)/R] ω
これを t=0 から 落下時刻 t=2v/g まで積分して、φ*(0)=0として落下地点の経度差φ*を求めます。
φ* = ω ∫[0~2v/g][1 - 2(v t - 1/2・g t^2)/R] dt
= ω t - ω/R × 4v^3/(3g^2)
第1項は自転による回転で、第2項が要求されたずれを経度差で表したものです。
したがって、求める地表上のずれは
R cosφ (φ* - ω t) = - ω cosφ × 4v^3/(3g^2)
となります。負号は西を表します。
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