色彩検定1級を取得する魅力を紹介♪

減衰のグラフを書け(エクセルで)という宿題が出ました。
全く分かりません。

初期変位d=1、初期速度v=0のときにh=2のときにどんなグラフになるのか?
式は添付データに書いてあります。
ωが何であるのかも分かりません・・・。

宜しくお願いします!

「減衰振動」の質問画像
gooドクター

A 回答 (1件)

空気中のバネの運動では空気抵抗が働く。

質点と原点との距離をx(t)とする。振動の速度があまり大きくないときには、空気抵抗は速度x'(t)に比例する。速度に比例する抵抗は速度と逆向きに作用する。比例定数をcとする。また原点の方向へ距離x(t)に比例する引力を受ける。その比例定数をkとする。質点の質量をmとする。バネの運動の微分方程式は
mx"=-cx'-kx  (m>0、c>0、k>0)
となる。形を整えると
mx"+cx'+kx=0  (m>0、c>0、k>0)
となる。mで割ると
x"+cx'/m+kx/m=0  (m>0、c>0、k>0)
であるから、
a=c/m
ω2=k/m
とおくと
x"+ax'+ω2x=0  (a>0、ω>0)
となる。a=0のときは、抵抗がないときに相当し、単振動となる。この形の微分方程式を2階線形微分方程式という。

D=a2-4ω2とおく
D>0のとき、一般解は
x(t)=C1exp(λ1t)+C2exp(λ2t)
である。ここで
λ1、2=(-a±)/2<0
であるから
limx(t)=0
t→∞
となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和である。この運動を、過減衰振動(over-damping)といい、非周期的な運動である。

D=0のとき、一般解は
x(t)=(C1+C2t)eλt
である。ここで
λ=-a/2<0
であるから
limx(t)=0
t→∞
となる。バネは振動しないで指数的に減衰していく2つの関数の和であるが、その差は小さい。この運動を、臨界減衰(critical damping)という。

D<0のとき、一般解は
x(t)=e-μt(C1cos(ωt)+C2sin(ωt))
である。ここで
μ=-a/2<0
ω=/2
であるから
limx(t)=0
t→∞
となる。バネは振動しながら指数的に減衰していく。この運動を、1次元減衰調和振動(damped oscilaion)または減衰正弦曲線という。また隣り合う極大値の比を減衰比(damping ratio)という。その対数を対数減衰率(logarithmic decrement)という。

--------------------------------------------------------------------------------
 数値解を求めるために、次の連立微分方程式系に直す。
x'=y       (1)
y'=-ay-ω2x   (2)
ω=1を固定して、係数aを変えてみる。a=1のときは、D<0となり、1次元減衰調和振動となる。a=2のときは、D=0となり、臨界減衰となる。a=3のときは、D>0となり、過減衰振動となる。初期値をx0=1、y0=10として、係数aを変化させたときの解曲線は次のようになる。
曲線は2次曲線です。
  

この回答への補足

画像の式にd=1、v=0、h=2を代入した場合、「e」と「ω」は何の数字を代入して、計算すれば良いでしょうか?
宜しくお願いします。

補足日時:2009/05/16 23:03
    • good
    • 1
この回答へのお礼

長文有難う御座います!
ωを1として計算してみます。回答、有り難う御座いました!

お礼日時:2009/05/17 13:48

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

人気Q&Aランキング