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工学部機械科一年生です。

いま、単振動の微分方程式を解くところをやっています。
解がx1(t)=sinωt x2(t)=cosωt
の二つが推測できるというのはわかります。

しかし、このあとで一般解を求めるのに重ね合わせの定理というのが出てきて、なぜこれが成り立つのかわかりません。

定理と書いてあるので、自分で証明したは方がいいのでしょうが、その証明方法がわからないのでわかりやすく教えてください!

また、この定理を皆さんは覚えていますか?
それとも、覚えないで理解した方がいいものですか?

質問者からの補足コメント

  • 重ね合わせの原理が成り立つのは、理解できました。
    しかし、なぜ一般解が
    y=c1(u1) + c2(u2) (一般解) c1,c2:任意定数
    二つの解を定数倍した和が一般解として表されるのですか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/04/24 08:08
  • 昔の人は重ね合わせをすると一般解となるというのはどのようにして見つけたのでしょうか?

    代入すれば確かに成り立つのはわかりますが、いまひとつモヤモヤした感じがします。

      補足日時:2017/04/24 09:06

A 回答 (6件)

はい、は~い


専門の勉強と数学の勉強がかさなってたいへんだろうけど
がんばって!
はい、またお手伝いしますね(^^);
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なるほど、おっしゃることはわかりました。


新入生のかたにとっては、大学の数学と高校の数学のつながりがあまりよくないので
なにか違和感があるのですね。

ぼくらのときは(いまもそうかな)、先生が
工科の学生はそのへんは余り気にせずに、どんどん触れていって
使えるようになれ!

なんてよく言われたもんです。
ひょっとして、先生もこまかい証明の仕方は知らなかったのかも(笑)。

前ふり長すぎました(笑)

実はあれから数学書をしらべてみました。それで以下のように考えてみてはと:
あまりうまい説明ではないので、参考程度に、

もちろんご存じのように
表題の問題は、微分方程式
x”+ω²x=0 (めんどいので時刻tの微分を’や”で代用します。それぞれ1回、2回微分のことです。)
の一般解の話ですね。

この方程式の解xは、もちろんx’が存在するので、つぎのようにtの関数C₁(t)、C₂(t)を
定義することができます、つまり
x=C₁(t)sinωt+C₂(t)cosωt
x’=C₁(t)ωcosωt+C₂(t)(-ω)sinωt
これはsinωt、cosωt     の行列式が、-ω≠0 なので可能な定義です。
   ωcosωt、(-ω)sinωt
実際C₁(t)、C₂(t)についてといてみると、それぞれ分母は -ωで、分子は
x、x’、ω、sinωt、cosωtだけを含んだ式になります。
それでx”も存在するので、このように表現したC₁(t)、C₂(t)については
それぞれ1回微分可能で、実際C₁’(t)、C₂’(t)を計算してみてそれぞれの分母を整理すると
x”+ω²xという因数がでてくるので分母は0になってしまうのです。
つまりtによらず、C₁’(t)、C₂’(t)がそれぞれ0なので、C₁(t)、C₂(t)がそれぞれ
定数でなければならないというわけです。
つまりこの微分方程式の解は、あの知られた形でないといけないということです。

余りに長くなるのでくわしい計算ははぶきました。
ぜひ、主さんの方で必要な計算をしてもらって、ここの論点を確認してみてください。
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この回答へのお礼

数学書まで調べていただいたのですね!
お手間をおかけしました。

高校数学と大学数学だとやはりレベルが違う感じがします笑

今回いただいた回答を元にもーいちど考えてみます!

わからなかったら、とりあえずそういうもんだとして今回は先に進もうと思います

また見かけたらよろしくお願いします❗️

お礼日時:2017/04/24 19:19

どんな微分方程式でも重ね合わせが成り立つわけではありません。


斉次線型微分方程式は重ね合わせの定理が成り立ちます。

この形の微分方程式で重ね合わせが成り立つのは式の形を
見れば一目瞭然です。証明するまでもありません。
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ぼくもそうですが、工科系の人間には微分方程式(特に線形方程式)は


商売道具のようなもんです。だからその道具について
きっちり理解、記憶しておく必要があるのです。

解がほんとにそうか確認することは一見ばかばかしく思えますが
そういう動作が記憶を定着させると思うのです。
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「重ね合せの定理(または、原理)」は斉次線形微分方程式(または、線形斉次微分方程式)で成り立つものです(^^)


斉次線形微分方程式とは、
y" + ay' + by =0
で表される微分方程式の事です(簡単のため、2階定数係数の微分方程式を書いておきました)。
この方程式の解をy=u1,u2 としておきます。
すると、この微分方程式に代入して
(u1)" + a(u1)' + b(u1)=0
(u2)" + a(u2)' + b(u2)=0
ですね(^^)
さて、y=c1(u1) + c2(u2) (一般解) c1,c2:任意定数
を微分方程式の左辺に代入してみます。
(左辺)={c1(u1) + c2(u2)}" + a{c1(u1) + c2(u2)}' + b{c1(u1) + c2(u2)}
これを整理すると、
(左辺)=c1{(u1)" + a(u1)' + b(u1)} + c2{(u2)" + a(u2)' + b(u2)}
これは、明らかに
(左辺)=0
ですね(^^)

単振動の場合、変位xを時刻t で微分する事になりますが、
d^2x/dt^2 + kx =0
ですから、斉次線形微分方程式になっています(◎◎!)

多分、証明が出来なかったのは、あらゆる微分方程式について成り立つと考えたからではないでしょうか?(^^;)

で、この定理を憶えているかって話ですが、憶えるっーよりも、微分方程式の式の形から、当然だよねって見ている・・・そんな感じです(^^A)

参考になれば幸いです(^^v)
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ナッキナッキーさんはそのようにして考えておられるのですね❗️

これを元にもう一度考えてみます。
またよろしくお願いします❗️

お礼日時:2017/04/23 14:45

C₁、C₂を任意定数として


x=C₁sinωt+C₂cosωt を方程式に入れて実際、解になるのを実感して、おぼえてください。
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この回答へのお礼

ふむふむ、やはりその方がいいのでしょうか?

できれば、そうした方がいいという理由もお聞きしたいのですが

お礼日時:2017/04/23 12:27

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