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工学部機械科一年生です。

いま、単振動の微分方程式を解くところをやっています。
解がx1(t)=sinωt x2(t)=cosωt
の二つが推測できるというのはわかります。

しかし、このあとで一般解を求めるのに重ね合わせの定理というのが出てきて、なぜこれが成り立つのかわかりません。

定理と書いてあるので、自分で証明したは方がいいのでしょうが、その証明方法がわからないのでわかりやすく教えてください!

また、この定理を皆さんは覚えていますか?
それとも、覚えないで理解した方がいいものですか?

質問者からの補足コメント

  • 重ね合わせの原理が成り立つのは、理解できました。
    しかし、なぜ一般解が
    y=c1(u1) + c2(u2) (一般解) c1,c2:任意定数
    二つの解を定数倍した和が一般解として表されるのですか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/04/24 08:08
  • 昔の人は重ね合わせをすると一般解となるというのはどのようにして見つけたのでしょうか?

    代入すれば確かに成り立つのはわかりますが、いまひとつモヤモヤした感じがします。

      補足日時:2017/04/24 09:06

A 回答 (6件)

はい、は~い


専門の勉強と数学の勉強がかさなってたいへんだろうけど
がんばって!
はい、またお手伝いしますね(^^);
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なるほど、おっしゃることはわかりました。


新入生のかたにとっては、大学の数学と高校の数学のつながりがあまりよくないので
なにか違和感があるのですね。

ぼくらのときは(いまもそうかな)、先生が
工科の学生はそのへんは余り気にせずに、どんどん触れていって
使えるようになれ!

なんてよく言われたもんです。
ひょっとして、先生もこまかい証明の仕方は知らなかったのかも(笑)。

前ふり長すぎました(笑)

実はあれから数学書をしらべてみました。それで以下のように考えてみてはと:
あまりうまい説明ではないので、参考程度に、

もちろんご存じのように
表題の問題は、微分方程式
x”+ω²x=0 (めんどいので時刻tの微分を’や”で代用します。それぞれ1回、2回微分のことです。)
の一般解の話ですね。

この方程式の解xは、もちろんx’が存在するので、つぎのようにtの関数C₁(t)、C₂(t)を
定義することができます、つまり
x=C₁(t)sinωt+C₂(t)cosωt
x’=C₁(t)ωcosωt+C₂(t)(-ω)sinωt
これはsinωt、cosωt     の行列式が、-ω≠0 なので可能な定義です。
   ωcosωt、(-ω)sinωt
実際C₁(t)、C₂(t)についてといてみると、それぞれ分母は -ωで、分子は
x、x’、ω、sinωt、cosωtだけを含んだ式になります。
それでx”も存在するので、このように表現したC₁(t)、C₂(t)については
それぞれ1回微分可能で、実際C₁’(t)、C₂’(t)を計算してみてそれぞれの分母を整理すると
x”+ω²xという因数がでてくるので分母は0になってしまうのです。
つまりtによらず、C₁’(t)、C₂’(t)がそれぞれ0なので、C₁(t)、C₂(t)がそれぞれ
定数でなければならないというわけです。
つまりこの微分方程式の解は、あの知られた形でないといけないということです。

余りに長くなるのでくわしい計算ははぶきました。
ぜひ、主さんの方で必要な計算をしてもらって、ここの論点を確認してみてください。
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この回答へのお礼

数学書まで調べていただいたのですね!
お手間をおかけしました。

高校数学と大学数学だとやはりレベルが違う感じがします笑

今回いただいた回答を元にもーいちど考えてみます!

わからなかったら、とりあえずそういうもんだとして今回は先に進もうと思います

また見かけたらよろしくお願いします❗️

お礼日時:2017/04/24 19:19

どんな微分方程式でも重ね合わせが成り立つわけではありません。


斉次線型微分方程式は重ね合わせの定理が成り立ちます。

この形の微分方程式で重ね合わせが成り立つのは式の形を
見れば一目瞭然です。証明するまでもありません。
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ぼくもそうですが、工科系の人間には微分方程式(特に線形方程式)は


商売道具のようなもんです。だからその道具について
きっちり理解、記憶しておく必要があるのです。

解がほんとにそうか確認することは一見ばかばかしく思えますが
そういう動作が記憶を定着させると思うのです。
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「重ね合せの定理(または、原理)」は斉次線形微分方程式(または、線形斉次微分方程式)で成り立つものです(^^)


斉次線形微分方程式とは、
y" + ay' + by =0
で表される微分方程式の事です(簡単のため、2階定数係数の微分方程式を書いておきました)。
この方程式の解をy=u1,u2 としておきます。
すると、この微分方程式に代入して
(u1)" + a(u1)' + b(u1)=0
(u2)" + a(u2)' + b(u2)=0
ですね(^^)
さて、y=c1(u1) + c2(u2) (一般解) c1,c2:任意定数
を微分方程式の左辺に代入してみます。
(左辺)={c1(u1) + c2(u2)}" + a{c1(u1) + c2(u2)}' + b{c1(u1) + c2(u2)}
これを整理すると、
(左辺)=c1{(u1)" + a(u1)' + b(u1)} + c2{(u2)" + a(u2)' + b(u2)}
これは、明らかに
(左辺)=0
ですね(^^)

単振動の場合、変位xを時刻t で微分する事になりますが、
d^2x/dt^2 + kx =0
ですから、斉次線形微分方程式になっています(◎◎!)

多分、証明が出来なかったのは、あらゆる微分方程式について成り立つと考えたからではないでしょうか?(^^;)

で、この定理を憶えているかって話ですが、憶えるっーよりも、微分方程式の式の形から、当然だよねって見ている・・・そんな感じです(^^A)

参考になれば幸いです(^^v)
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ナッキナッキーさんはそのようにして考えておられるのですね❗️

これを元にもう一度考えてみます。
またよろしくお願いします❗️

お礼日時:2017/04/23 14:45

C₁、C₂を任意定数として


x=C₁sinωt+C₂cosωt を方程式に入れて実際、解になるのを実感して、おぼえてください。
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この回答へのお礼

ふむふむ、やはりその方がいいのでしょうか?

できれば、そうした方がいいという理由もお聞きしたいのですが

お礼日時:2017/04/23 12:27

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力学的エネルギー保存則が成立する条件は、
保存力以外の力が仕事をしない
言い換えると、
保存力以外の力のする仕事の和が0
のときです(^^)
保存力の種類は少なくて、高校物理では
重力、弾性力、静電気力
の3つだけ憶えていれば十分でしょう(^^)

では、この問題で、おもりA、Bに働く保存力でない力はというと、
棒がおもりを中心方向に引っ張る張力
おもりの円運動の接線方向に働くおもりと棒の間の摩擦力(分かりやすく、「摩擦力」と表現しました)
ですね(^^)
「棒がおもりを中心方向に引っ張る張力」
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それに対して、Aを上向きに運動させる力は、Aと棒の間に働く摩擦力ですから上向き・・・ってなります。
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問題では、棒は「自由に回転できる軽くてまっすぐな棒」ってなっています。
この条件から、Aに働く摩擦力の大きさとBに働く摩擦力の大きさは等しい事が言えてしまいます。
・・・これを示すのは、高校物理の範囲を超えますので、割愛しますね(^^A)

そうすると、
Aに働く摩擦力・・・回転方向
Bに働く摩擦力・・・回転と逆向き
で、
Aに働く摩擦力とBに働く摩擦力は同じ大きさですから、Aに働く摩擦力のする仕事をWとすると、
Bに働く摩擦力のする仕事は、-Wと書けてしまいます。

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そうです、微小時間だから、r は一定と考えています(^^)
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Qコリオリの力

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簡単のため、反時計回りする円板の円周に対して垂直外向きにボールを投げ出したとします(;・・)へ ≡O
すると、地面で静止している人からは、ボールを投げた時の自分の速度と、自分が投げたボールの速度のベクトル和の方向にボールは飛んでいきます。
・・・空気抵抗や重力を無視すると、等速直線運動しますね(^^)
で、ボールを投げた自分なんですが、円板が反時計回りしているために、ボールの軌道が右向きに曲げられる様に見えます(◎◎!)
これは、図を描けばすぐに分かりますよ(^^)
静止した地面の上に反時計回りする円板と自分の顔の向きを描きます・・・そして、投げ出されたボールの軌道として、地面から見たものを描きます
ボールは等速直線運動するので、軌跡は直線ですね・・・それを円板上の自分が見たとき、ボールを見つめる顔の向きを色々な場所で調べてみて下さい。
すると、円板が回転するにつれて、顔の向きはどんどん右を向いてくることが分かります(^^)

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Qこの回路の端子abの電位差は27Vである。 電源電圧Eはいくつか という問題で画像のように計算したの

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という問題で画像のように計算したのですが間違いでした。どこを間違えているのでしょうか

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間違っているのは a の電位です。左の抵抗器は2本分の電位 (5/8 E) が嵩上げされていません。これを加えると、

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②円筒内の水面を上から押す力は、空気Aの圧力による力だから、Aの圧力をP_Aとすると、P_AS。
③大気圧P_0は、円筒の上からかかっているので、水面に対しても上からかかる力になって、P_0S。

①から③より、つりあいの式は、P_AS + P_0S = ρSl_2g。
両辺をS(≠0)で割って、P_A = ρl_2g - P_0。

とやったのですが、答えは、P_A = P_0 + ρl_2g でした。大気圧の扱いが間違っているんでしょうか?教えて下さい。

Aベストアンサー

#2です。

お礼への回答
>左辺のρSL2*gは、高さL2の部分に密度ρの水が満たされていて、それによる重力のように見えるのですが、問題では空気Aしか入っていないですよね。ここの部分とAの圧力が、どのように結びつくのかまだよくわかりません。

なるほど。
そこで詰まっていましたか。やっぱりな、とは思いました。

#2に書いてあります
>円筒外の部分にL=0~L2の断面積Sの円筒における力のつり合いを考えると
円筒外、つまり、問題にある円筒とは違う場所に仮想的な円筒を考えています。上は水面、下は深さL2、断面積は適当(仮にs(小文字)とでもしましょう)

この円筒の上下方向に働く力の釣り合いを考えます。
問題にある円筒の外側、としたのですからこの仮想的な円筒の内部は水で満たされています。
ですのでこの円筒内の水に働く重力は体積がs*L2ですから
ρ*s*L2*g
となります。働く方向は当然下方向。
また、上面は大気から大気圧で押されていますので下方向にPo*sの力を受けています。
下面はそこでの水圧を上向きに受けます。水圧の大きさをP(L2)とするとP(L2)*sですね
この3つの力の釣り合いを考えているのです。

じゃあ、上に出てくる円筒外での深さL2での圧力P(L2)が問題にある円筒内の水圧に何か関係あるの?と疑問を持つかもしれません。
そこで知っておかないといけないことが"パスカルの原理"です。

静止状態にある連結された流体において同じ高さにある部分の圧力は等しくなる、という性質です。

円筒の内であろうが外であろうが根っこでつながっている限り、同じ高さの部分の圧力は等しくなるのです。
ですから上で使ったP(L2)と円筒内の水面(水面からの高さ-L2)での圧力は同じ高さなので等しくなるのです。

#2です。

お礼への回答
>左辺のρSL2*gは、高さL2の部分に密度ρの水が満たされていて、それによる重力のように見えるのですが、問題では空気Aしか入っていないですよね。ここの部分とAの圧力が、どのように結びつくのかまだよくわかりません。

なるほど。
そこで詰まっていましたか。やっぱりな、とは思いました。

#2に書いてあります
>円筒外の部分にL=0~L2の断面積Sの円筒における力のつり合いを考えると
円筒外、つまり、問題にある円筒とは違う場所に仮想的な円筒を考えています。上は水面、下は深さL2、断...続きを読む

Q物理の質問 分散のある波はなぜ 群速度のおおきさ=v+k(dv/dk) となるのですか? kは波数

物理の質問
分散のある波はなぜ
群速度のおおきさ=v+k(dv/dk)
となるのですか?
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まず、分散のある波とは、分散という現象が起こる波のことです。
分散の代表例はプリズムによって太陽光が様々な色の光りに分かれる現象ですね。
この分散が起こる理由は、波の振動数(波長といってもOK)によって波の伝わる速さが異なるからです(光も波ですよね)。
このように波の振動数によって伝わる速さが異なる波の媒質を「分散性の媒質」と呼んでいます。
この振動数によって伝わる速さが異なる波が重なって合成波ができ、この合成波の伝わる速さが「群速度」ですね。
つまり、何が言いたいかというと、所謂「波の重ね合わせの原理」にしたがって計算しなければならないということです。
そこで、ある波を式で表すと
    y=Asin(ωt-kx)  ω:角振動数
だったとします。この波とわずかに振動数が異なる波の式を
    y'=Asin(ω't-k't)
として、重ね合わせの原理より合成波の変位Yは
    Y=y+y'
となります。さて、Yの式のsin関数の和を積の形にしてみて下さい。
Y=2Acos(Ωt-Kx)sin(Ω't-K'x)
        Ω=(ω-ω')/2 Ω'=(ω+ω')/2
K=(k-k')/2 K'=(k+k')/2
この式を
Y=2AScos(Ωt-Kx)×sin(Ω't-K'x)
と分けて書いておきます。振動数はわずかに違うだけですので、Ωは小さな値となる事に注意して下さい。
そして、2AScos(Ωt-Kx)部分を振幅の変化と見てしまいます。するとこの部分はΩが小さいので、ゆっくりと変化することになります。
なぜ、2AScos(Ωt-Kx)を振幅と見るのかですが、高校物理の教科書または参考書(波の専門書でもいいです)がありましたら、
「うなり」を探して、「うなり」が生じている波の図を見てみて下さい。
多分、図には実線で描かれた波と、実線の波の山をつないだ破線が描かれていると思います。
この破線で描かれている波は、実線の波よりゆっくり変化していますね。
つまり、合成波はゆっくりと振幅を変化させながら伝わっているということで、
この振幅の変化を表しているのが2AScos(Ωt-Kx)の部分だということです。
「群速度」はこのゆっくりと変化している破線で描かれている波の伝わる速さの事です。
したがって、波の式v=fλ=ω/kから
   群速度V=Ω/K
となります。このとき、ω'-ωとk-k'は小さいので(振動数がわずかに違う波で考えていた事に注意して下さい)
V=dω/dk
と書き直せます。ここで、ω=vkですから(確認してみて下さいね)
V=d(vk)/dk=k・dv/dk + v・dk/dk =k・dv/dk + v
が群速度を求める式になります。
図が無くて分かりにくいかもしれませんが、手近な参考書で「うなり」を確認してみて下さいね(^^v)

まず、分散のある波とは、分散という現象が起こる波のことです。
分散の代表例はプリズムによって太陽光が様々な色の光りに分かれる現象ですね。
この分散が起こる理由は、波の振動数(波長といってもOK)によって波の伝わる速さが異なるからです(光も波ですよね)。
このように波の振動数によって伝わる速さが異なる波の媒質を「分散性の媒質」と呼んでいます。
この振動数によって伝わる速さが異なる波が重なって合成波ができ、この合成波の伝わる速さが「群速度」ですね。
つまり、何が言いたいかというと、所...続きを読む

Q【ガリレオ】の 湯川学て。 物理学者だけど 工学やってるのは 何故??

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