運動方程式 m(d^2x/dt^2)+kx=0 の固有角振動数、固有周

運動方程式 m(d^2x/dt^2)+kx=0 の固有角振動数、固有周期、固有振動数ってどうやって求めるんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Willyt 回答日時： 2010/08/09 12:44

これは簡単な二次の線形微分方程式です。

これを解くにはx＝exp(λt）と置けばいいのですが、その解は

x=Asinωt+Bcosωt 　ω=√k/m　となります。これは加法定理を使って

x=C・sin(ωt+δ)　C^2=A^2+B^2 δ=arctan(B/A) と変えることができます。

この式の周期が固有振動周期となり、その値はＴ＝2π／ω　ですよね。　固有振動数は1/T 固有角振動数はωになります。

ここで気をつけなければいけないのは、ｔ=πのときも　t=０　の値に戻って来ますが、その微分値、つまり速度は符号が逆になっているので元に戻ったことにはならず、ｔ=2πになったとき初めて初期値に戻って来たことになることです。だからωT=2πになります。

No.4 回答者： spring135 回答日時： 2010/08/09 22:23

固有角振動数、固有周期、固有振動数を求めるというのは微分方程式の解として正弦波を前提にしていることと等価です。

固有角振動数ｗを用いて
x=sin(wt)をm(d^2x/dt^2)+kx=0代入して
w=√(k/m)
ここに
w=2πf, fが固有振動数で
f=√(k/m)/2π
固有周期T=1/f=2π√(m/k)

No.3 回答者： ykskhgaki 回答日時： 2010/08/09 12:44

(d^2 x/dt^2) + (k/m)x = 0

ω= 2πf = √(k/m) , T = 1/f

f が固有振動数、T が固有周期です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/08/09 12:00

その「運動方程式」を解く.