コインシデンス周波数の導出

音の透過損失を議論するときに、コインシデンス周波数（限界周波数？）が重要で、
いろんなところで計算式を見かけますが、どのようにしてこの式が求まったのかがわかりません。
論文などを探しても、導出や引用なしでいきなり式が書かれるものしか見つけられませんでした。

fc=c^2/(2πh・sin^2θ)*√(12ρ(1-σ^2)/E)
という式です。

fc：コインシデンス周波数
c：空気の音速
h：板厚
θ：入射角
ρ：板の密度
σ：板のポアソン比
E：板のヤング率

どなたかご存知の方はいらっしゃいませんでしょうか。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： veryyoung 回答日時： 2014/02/27 22:55

音波が板面に斜め（垂直に対する角度をθ）に入射する時、圧力の縞模様が生じてこれが伝搬します。

その速度（板面に平行な位相速度）は、v1 = c / sin θ となります。
http://faq.ykkap.co.jp/pro/faq_detail.html?id=70 …
http://personal.cityu.edu.hk/~bsapplec/transmis2 … 　のFig.7
圧力の縞模様は板を面に垂直に波打たせます。板の振動論的な屈曲波伝搬速度が、先の圧力波の位相速度に一致すれば、エネルギの移行が能率良く行われ共振する旨、理解しました。

屈曲波の伝搬速度は、一次元の梁の振動理論（定在波解）を元にすれば、情報豊富です。
http://www.ms.takushoku-u.ac.jp/Labs/suzuki/Text …
http://www.jsme.or.jp/sed/guide/dynamics5.pdf

たわみ y の式　E I (∂^4 y /∂x^4) + ρ A (∂^2 y /∂t^2) = 0
から、両端単純支持（変位、モーメント零）の境界条件のもと、梁長 L に一波長が乗る角周波数として、
ω = (2π / L)^2 √( E I /ρ /A )
が得られます。この振動を、互いに逆方向に伝搬する波の加算による定在波と見なす事により、伝搬速度は、
v2 = L ω /( 2π)　と算出できそうです。これと前式から L を消去すると、
ω = (ω / v2 )^2 √( E I /ρ /A )、つまり
ω = v2^2 √( ρ A /E /I )
さらに v2 = V1 = c / sin θ を代入すれば、
ω = ( c / sin θ )^2 √( ρ A /E /I )

梁断面積：A = b h、　断面２次モーメント：I = b h^3 / 12 と置けば、
ω = ( c / sin θ )^2 /h √( 12 ρ /E )

ところで、これは、細い梁の曲げにおける「ポアソン比による断面の台形変形」を許した解です。板の場合この歪みが禁止されて、剛性が 1/(1-σ^2) 倍に増すようです。従って、
ω = ( c / sin θ )^2 /h √( 12 ρ (1-σ^2) /E )

ご提示の式に合わせて記述すれば、
fc = c^2 /( 2 π h sin^2 θ ) √(12 ρ (1-σ^2) /E )
となります。

不慣れな素人考察です。不審な点などありましたら、ご指摘ください。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
リンク先をまだじっくり検討できていないのですが、
ひとまずお礼申し上げます。

お礼日時：2014/03/18 08:38