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物理の問題がどうしても解けません。

長さlの糸先に質量mのおもりをつけた振り子の支点が、質量の無視できるばね(ばね定数k)に付いている。振り子の支点Aは水平方向のみに動く。支点Aの座標を(x1,0)、おもりの座標を(x,y)とする。またばねの長さをx0とする。ξ=x1- x0と糸と鉛直線のなす角θを変数としてこの系のラグランジアン、ラグランジュ運動方程式をら求めよ、さらにそれを解いて基準振動を求めよ。

ラグランジアンに必要な運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの値をうまく取ることが出来ないです。教えて欲しいです。

「物理の問題がどうしても解けません。 長さ」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 回答ありがとうございます。
    ラグランジュの運動方程式を用いてξとθを用いた式が2つ出せたのですが、「基準振動」の意味がわかりません。連立させてξだけの式とθだけの式に直してあげればいいのでしょうか?

      補足日時:2018/02/19 21:56
gooドクター

A 回答 (4件)

え~と、いきなり運動方程式にするより、まずエネルギーで近似した方が楽でしょう。


1-cosθ≒θ^2/2、sinθ≒θ を使い、ξ、v、θ、ω の3次以上の積になっている
項は、小さいだろうからということで捨てます(^^;

するとUはξとθ、Tはvとωの所謂「2次形式」 になる筈ですが
これは調和振動を意味します。

まずここまでやって、微分方程式変換してから、微分方程式の教科書を
見るのが良いでしょう。

基準振動を求めるだけなら、ξゃθについて完全に解く必要は有りません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

なんとか値が出ました。助かりました!

お礼日時:2018/02/20 12:44

>「基準振動」の意味がわかりません。


2階の線形微分方程式の基本に戻りましょう。
方程式を2個の調和振動子に分解したときの
それぞれの固有振動を「基準振動」といいます。
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dξdt=v


dθdt=ω
とすると

U=(1/2)kξ^2+(1-cosθ)mgl
T=(1/2)m{(v+lωcosθ)^2+(lωsinθ)^2}

解析力学やるなら、こんな超簡単な系のエネルギーは
瞬殺で導けないと後が無茶苦茶厳しいですよ。

まず基本を身に付けましょう。
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普通にx1,x,yとその時間微分でポテンシャルエネルギーと運動エネルギーを表し、それをξ,θとその時間微分で表せばよいでしょう。


x0やlが出てきますが、それらは定数なのであっても問題ありません。
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