物理の問題です。

物理の問題です。以下の問題の答えと解き方を教えてください。
一直線上を運動する点Pの時刻tでの位置xがa、b、βを定数として次の式
x=ae^(βt)+be^(-βt)
で与えられている。
(1)速度、(2)加速度、(3)x=0を通る時刻、(4)速度vが0になる時刻を求めなさい。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/12 09:52

No.1 です。

定数 a, b, β の条件をその都度場合分けしながらやってみましょう。

「高校」のカテだけど、これは「微分」が理解できないと先に進まないでしょう。

x(t) = a･e^(βt) + b･e^(-βt)　　　　①　

より

(1) 速度
　v(t) = dx/dt = a･β･e^(βt) - b･β･e^(-βt)　　　②

(2) 加速度
　d²x/dt² = dv/dt = a･β^2･e^(βt) + b･β^2･e^(-βt)
　　　　　= β^2･[a･e^(βt) + b･e^(-βt)]　　　　　　　③
　　　　　= β^2･x

(3) ①より、x(t1) = 0 となる t1 は
　x(t1) = a･e^(β･t1) + b･e^(-β･t1) = 0　　　　④

(3a) a = b = 0 のとき、全ての t に対して④が成り立つ。

(3b) 「a=0 かつ b≠0」、または「a≠0 かつ b=0」のときには、x=0 となる t は存在しない。

(3c) a≠0, b≠0 のとき、④より
　e^(2β･t1) = -b/a
これは
　b/a < 0
のときにしか成り立たない。
このとき
　2β･t1 = log(-b/a)

これは
(3c-1) β=0 なら、a=-b となり、このとき全ての t に対して④が成り立つ。
(3c-2) β≠0 なら、
　　t1 = [1/(2β)]log(-b/a)


(4) ②より、v(t2) = 0 となる t2 は
　v(t2) = a･β･e^(β･t2) - b･β･e^(-β･t2) = 0　　　　⑤

(4a) β = 0 のとき、全ての t に対して⑤が成り立つ。

(4b) β ≠ 0 のとき、⑤は
　 a･e^(β･t2) - b･e^(-β･t2) = 0　　　　⑥
となり

(4b-1) a = b = 0 のとき、全ての t に対して⑥すなわち⑤が成り立つ。

(4b-2) 「a=0 かつ b≠0」、または「a≠0 かつ b=0」のときには、v=0 となる t は存在しない。

(4b-3) a≠0, b≠0 のとき、⑥より
　e^(2β･t2) = b/a
これは
　b/a > 0
のときにしか成り立たない。
このとき
　2β･t2 = log(b/a)

これは
(4b-3a) β=0 なら、a=-b となり、このとき全ての t に対して⑥すなわち⑤が成り立つ。
(4b-3b) β≠0 なら、
　　t2 = [1/(2β)]log(b/a)


定数 a, b, β の条件があらかじめ提示されていれば、それに応じて議論ができると思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/12 00:40

定数 a, b, β に何らかの条件が設定されているのでは？