時速 54 km で一直線上を車で走っていると、25 m 先に障害物を見つけた。このとき、どのくら

時速 54 km で一直線上を車で走っていると、25 m 先に障害物を見つけた。このとき、どのくら
いの強さでブレーキを掛ければ、障害物にぶつからずに止まることができるかを考えよう。ブレー
キをかけはじめる位置を x = 0 [m] とし、車の進行方向に x 軸を取る。車がブレーキをかけはじめ
る瞬間を t = 0 [s] とし、時刻 t における車の位置を x(t) とする。
まず、一定の加速度でブレーキをかけることを考える。加速度の大きさを p [m/s2] とすると、ブレーキをかけている間の車の運動は、微分方程式

d2x/dt2= −9p

によって表される。

また、この微分方程式の初期条件は x(t = 0) =①0 ,
dx/dt (t = 0) = ②15である。
この方程式を解くと、p > ③4.5m/s2
(有効数字 2 桁) だけの加速度を与えれば、
車は障害物にぶつからないことが分かる。
また、p の値が最も小さいとき、
車にブレーキをかけ始めてから
車が止まるまでにかかる時間は ④3.3s (有効数字 2 桁) である。

③から分かりません
x(t)＝Acos(pt)+Bsin(pt)
p＝√1なので
x(t)＝Acos(t)＋Bsin(t)
というのを使って求めるのかなくらいしか分かりません
教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• −9pではなく−pです

    補足日時：2022/05/29 13:36

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/29 13:34

No.3 です。

ああ、もう一つの答

T = 15/p = 15/4.5 = 3.33333･･･ ≒ 3.3 [s]

も必要でしたね。

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/29 13:44

私、マスターコトーの回答では

PをQにしてしまいました…

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/29 13:42

-Pはわかってますよ…

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/29 13:28

あ、4番もあったですね

dx/dt=-qt+15=0
となる時刻は
t=15/q
⇔q=15/t
q>4.5より
15/t>4.5
⇔15/4.5>t
⇔3.33・・・>t(ぶつからずに泊まれる時間は3.33秒未満)
ゆえに　答えは3.3[s]

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/29 13:27

＞ブレーキをかけている間の車の運動は、微分方程式

＞
＞d2x/dt2= −9p
＞
＞によって表される。

その係数「9」って何ですか？　どこから出て来ました？

単純に「加速度が p」の等加速度運動なので、
　d²x/dt² = dv/dt = p　　　　①
ですよ。p は「正だったら加速、負だったら減速」です。

(注) これを解いたって、単純に「定数を2回積分する」だけなので
　x(t)＝Acos(pt)+Bsin(pt)
にはなりませんよ？
単振動の運動方程式
　d²x/dt² = -(k/m)x　　←右辺に「x」を含む
と混同していませんか？


ここでは、初めから「減速なので加速度は -p（p>0）」として、①を
　dv/dt = -p　　　　①'
と書きましょうか。

この場合には「停止するまでの速度」をまず求めるので、①' を時間 t で積分して
　v(t) = v0 - pt
t=0 で v(0) = 54 [km/h] = 15 [m/s]
なので、t を「秒：s」、v(t) を [m/s]、加速度 p を [m/s^2] の単位で表記するとすれば
　v(t) = 15 - pt　　　　②

そうすれば
t=T で v(T) = 0 [km/h] = 0 [m/s]
になるので、②式より
　v(T) = 15 - pT = 0
→　pT = 15
→　T = 15/p　　　③

速度が②のときの変位は、②を時間 t で積分して、x(0)=0 なので
　x(t) = 15t - (1/2)pt^2 [m]　　　　③

従って、時刻③のときの変位は
　x(T) = 15T - (1/2)pT^2
　　　= 225/p - (225/2)/p
　　　= (225/2)/p

これを 25 m 以内にしたいのなら
　x(T) = (225/2)/p < 25
より
　p > 225/50 = 4.5 [m/s^2]

これは、「減速」で、その加速度（減速度）の絶対値が
　|p| > 4.5 [m/s^2]
ということです。
加速度を「正負どちらも取り得る」として「p をマイナス（減速）」としたときには
　p < -4.5 [m/s^2]
となるのでご注意ください。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/29 13:17

dx/dt=v(t)とすれば

d²x/dt²=dv/dt=-q
これをｔで積分　
∫(dv/dt)dt=∫-qdt
(左辺は置換積分だから)
∫dv=∫-qdt
v(t)=-qt+c (cは任意定数）
初期条件いれて
v(0)=dx/dt (t = 0) = ②15=-9・0+c
c=15
ゆえに　dx/dt=-qt+15…①
これを積分
∫(dx/dt)dt=∫(-qt+15)dt
∫dx=∫(-qt+15)dt
x(t)=(-1/2)qt²+15t+C
初期条件入れて
0=C
ゆえに
x(t)=(-1/2)qt²+15t・・・②
V＝dx/dtが０となる時刻は①より
-qt+15=0⇔t=15/q
②へ代入
x(t)=(-1/2)qt²+15t
=(-1/2)・15・(15/q)+15・(15/q) ←←←Vが０となる位置
この位置がx=2５未満なら衝突回避できるから
(-1/2)・15・(15/q)+15(15/q)<25
⇔4.5<ｑ

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2022/05/29 12:29

逆に考えればいい。

停止状態から25mで時速54kmになるには、どのくらいの加速をすれば良いのか。
……です。

このほうが簡単だろ。

設問の文章に捉われていると問題の意味を見失っちゃうよ。