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a=(1,2,1)にもb=(2、-1,1)にも直交する単位ベクトル
を求めたいのですが、求めたい単位ベクトルをxと置いて
a・x=0、b・x=0という風にしてみたのですがうまくいきません。
計算過程を含めご教授していただける方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。

A 回答 (3件)

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。



x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
   x=3y   これを、(B)に代入して、
   z=-5y

   x,z が y で表されているのを確認して、
   2式を(A)に入れて、

 9(y^2)+(y^2)+25(y^2)=1
           35(y^2)=1
     y=(1/√35), (-1/√35)

    即ち求めたい単位ベクトルは、
  (3/√35, 1/√35, -5/√35) 、
  (-3/√35, -1/√35, 5/√35) 。
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この回答へのお礼

ご解説ありがとうございます。
非常に理解しやすく助かります。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/02/15 04:26

こんばんは。



x + 2y + z = 0
2x - y + z = 0
差を取れば、
-x + 3y = 0
x = 3y
これを、
x = 3y = 3t
と置きます。

最初の式より
x + 2y + z = 0
3t + t + z = 0
z = -4t

よって、2つのベクトルに直交するベクトルは、
(3t, t, -4t)
で表されます。

以上でベクトルの方向は決まりましたが、単位ベクトルなので、絶対値を1にしなくてはいけません。
√[ (3t)^2 + t^2 + (-4t)^2 ]
 = t・√( 3^2 + 1^2 + 4^2 )
 = t・√( 9 + 1 + 16 )
 = t・√26
これが1と等しいという条件で、tが決まります。
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    • 0
この回答へのお礼

ご解説ありがとうございます。
また質問で申し訳ないのですが、x=3y=3tと置いたときなのですがこの場合z=-5tになると思うのですがいいのでしょうか?

お礼日時:2008/02/15 04:19

xの長さが1である条件が抜けてませんか?



x=(u,v,w)とすると、
a・x=0,b・x=0より、
1・u+2・v+1・w=0
2・u-1・v+1・z=0
∴u=3v,w=-5v
xの長さが1という条件より、
u^2+v^2+w^2=1
∴v=±(1/√35)
以上より、...
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ご解説ありがとうございます。
おっしゃる通りxの長さが1という条件が抜けていました。
あとは代入すればという事ですね。
ありがとうございます。

お礼日時:2008/02/15 04:22

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Q一本のベクトルに直交するベクトルについて

あじぽんと申します。質問があります。

3次元空間にベクトルAが一本だけあるとします。
さらにベクトルAに直交するベクトルがいくつもあるとします。

ベクトルAの座標がわかっている時に、
ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(a1、b1、c1)という3次元ベクトルがあるとしましょうか。
それに垂直なベクトルの成分を(a2、b2、c2)と置きます。
このとき、両者の内積はゼロになるわけですから、
a1,b1,c1,a2、b2、c2には、次の関係が成り立ちます。

内積 = a1・a2 + b1・b2 + c1・c2 = 0

>>>ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

上の式を満たすようなベクトルを作ればよいだけです。
たとえば、b2とc2をゼロにしちゃえば、いとも簡単に1つ作れます。


以上、ご参考になりましたら。

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(...続きを読む

QベクトルAとBに垂直なベクトルCを求めるには?

ベクトルAとBがあり、その両方に垂直なベクトルを求めたいのですが、
どうすれば良いのでしょうか?
内積を計算した結果で0になるものが直行しているというのはわかるのですが・・・

Aベストアンサー

rei00 です。先程の回答違ってますね。alfeim さんがお書きの様に A, B の外積が求めるものですね。

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垂直=内積0より
 a1・x + a2・y + a3・z = 0
 b1・x + b2・y + b3・z = 0

これを解いて
 x = z・(b3・a2 - a3・b2)/(a1・b2 - b1・a2)
 y = z・(b3・a1 - a3・b1)/(a2・b1 - b2・a1)

今,求めるベクトルの大きさが決まっていませんので,x, y, z の比を使って,求めるベクトルは (a2・b3 - b2・a3, a3・b1 - b3・a1, a1・b2 - b1・a2) となります。

つまり A, B の外積になります。なお,3次元上の次元でも同様に出来ると思います(たぶん・・・)。

Q線形代数 直交するベクトル

(1,2,0) (5,6,4)の2つの列ベクトルがあります。(表記は行ベクトルのようになってしまいますが・・・)

この2つの列ベクトルに直交する、3×1行列X(成分はx,y,zと置きます)を求めよ。

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でもそれだと式の数が足りませんよね・・

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Aベストアンサー

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そうすると(~を転置の記号として使うと)
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と直交する列ベクトルが求まります。kは任意定数です。

k=-1と選べば直交列ベクトルは(2,-1,-1)
k=1と選べば直交列ベクトルは(-2,1,1)
となります。

k(スカラー変数、k≠0)の値によって、ベクトルの大きさやベクトルの向き(kの符号によって向きが変わる)が変わりますが、元の2つの列ベクトルと直交するベクトルであることには変わりません。ベクトルの成分(要素)の比が簡単な比になるようにkの値を選んだり、kのまま直交列ベクトルを一般形をそのまま答えとすることもあります。

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Q直行する単位ベクトルの求め方

   1
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   1
にも
   2
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   1
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という問題なのですが、解き方が分かりません。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

E(x,y,z)
(x^2)+(y^2)+(z^2)=1

(x,y,z)・(1,2,1)=0,,,x+2y+z=0
(x,y,z)・(2,-1,1)=0,,,2x-y+z=0
            -x+3y=0,,,x=3y #

x+2y+z=0→3y+2y+z=0→5y+z=0→z=-5y ##

(x^2)+(y^2)+(z^2)=1→9(y^2)+(y^2)+25(y^2)=1→35(y^2)=1
y=1/√35, -1/√35

(x,y,z)=(3/√35, 1/√35, -5/√35),
     (-3/√35, -1/√35, 5/√35)

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

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まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q数学のベクトルの外積(ベクトル積)についての質問です。

数学のベクトルの外積(ベクトル積)についての質問です。
ベクトルの外積はa×b=|a||b|sinθであらわされ、平行であることを示せるのはわかるのですが、直交は調べられないのでしょうか?
外積をつかって直交ベクトルを求めよと言う問題が出てしまって、いくら教科書を読んでも解き方がわかりません。
例)
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交する単位ベクトルを外積を利用して求めよ。

Aベストアンサー

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
  |a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
  |a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。


さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
  |a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジを回す方向を向いたものです。


簡単に言うと、定義より、a×bはaと直交します。同様にa×bはbとも直交します。
さらに-(a×b)もa,bの両方に直交します。


そのことを踏まえると、
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交するベクトルは
  c = ±(a×b)
と書けます。
さらにcに平行な単位ベクトルを求めれば、それがa,bの両方に直交する単位ベクトルとなります。
求めるベクトルeは
  e = c/|c| = ±(a×b)/|a×b|
です。

a×bの成分を与えられたa,bの成分から求めれば、eの成分表示を具体的に書けるでしょう。

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
  |a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
  |a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。


さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

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座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。


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