
ナブラは1階の偏微分演算子で、
∇で表され、∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)と理解しています。
ラプラシアンは2階の偏微分演算子で、
Δで表され、ナブラ同士の内積から、
Δ=∇・∇=(∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2
で表されると認識しています。
ここまでの認識は正しいでしょうか?
ナブラの定義についてですが、
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)=ex(∂/∂x)+ey(∂/∂y)+ez(∂/∂z)
ex,ey,ezは互いに直交する各方向への単位ベクトルである。
という記述がありました。
ナブラの定義ですが、
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)=ex(∂/∂x)+ey(∂/∂y)+ez(∂/∂z)
が正しいのでしょうか?
eは基底を表しているかと思いますが、なぜ基底を取る必要があるのでしょうか?
そしてなんで和で表されるのでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
Δ = ∇・∇ = (∂/∂x)^2 + (∂/∂y)^2 + (∂/∂z)^2
にせよ、
∇ = ex(∂/∂x) + ey(∂/∂y) + ez(∂/∂z)
にせよ、
単なる暗記のためのタトエバナシです。
(∂/∂x), (∂/∂y), (∂/∂z) をスカラーみたいに扱えば、
内積だの、基底上の成分表示だのみたいな式になる…
というだけの話。
歴史年号のゴロ合わせみたいなものだと思えばいい。
∇ を関数 f(x,y,z) に作用させたとき、
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
= ex(∂f/∂x) + ey(∂f/∂y) + ez(∂f/∂z)
と書けますよね。こちらの式の変形は、
基底が出てくることも、和で表せることも、
普通のベクトルの計算だから、疑問はないでしょう?
この ex(∂f/∂x) + ey(∂f/∂y) + ez(∂f/∂z) を、
= { ex(∂/∂x) + ey(∂/∂y) + ez(∂/∂z) } f
と書くことにしちゃおうよ…
と提案しているだけなんです。
Δ = ∇・∇ = { ex(∂/∂x) + ey(∂/∂y) + ez(∂/∂z) }^2
= (∂/∂x)^2 + (∂/∂y)^2 + (∂/∂z)^2
の式で、基底は ex・ex = ey・ey = ez・ez = 1,
ex・ey = ey・ez = ez・ex = 0 によって消えるのですが、
これも、∇ をあたかもベクトルのように扱えばそうなる…
ということです。
∇ は、ベクトルではなく、作用素環上の加群の元だ…
などの話は、ここではひとまず置いといて。
この回答への補足
いつもご回答ありがとうございます。
∇に関して、
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)=ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z
であることは理解できました。
また、Δに関しても、
Δ=∇・∇=(∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2
となることも理解できました。
ここで、
勾配(grad)は、
スカラー関数をfとすると
gradf=∇f=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)f=(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)f
となることは理解できます。
発散(div)は、
ベクトル関数をg=(gx,gy,gz)とすると、
divg=∇・g=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)・(gx,gy,gz)
より計算されますが、
(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)を使って計算できるんでしょうか?
回転(rot)も同様に、
ベクトル関数をg=(gx,gy,gz)とすると、
rotg=∇×g=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)×(gx,gy,gz)
より計算されますが、
(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)を使って計算できるんでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
ご回答ありがとうございます。
理解できない点がありますので、再度質問させて頂きます。
ご回答下されば幸いです。
以上、よろしくお願い致します。
No.2
- 回答日時:
ex=(1, 0, 0), ey=(0, 1, 0), ez=(0, 0, 1) とすると
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
=(∂/∂x,0,0)+(0,∂/∂y,0)+(0,0,∂/∂z)
= ex・∂/∂x + ey・∂/∂y + ez・∂/∂z
ですよね。同じものです。
数学的には、ベクトルは単にスカラーの並びですが、
基底を使った表現は、スカラー値がどの基底に基づいているかを
明示します。より厳密な表現と言ってよいと思います。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
=(∂/∂x,0,0)+(0,∂/∂y,0)+(0,0,∂/∂z)
単純にベクトルの足し算しをしているだけですか?
また、ナブラの定義を
ex・∂/∂x + ey・∂/∂y + ez・∂/∂z
とすると、ラプラシアンには基底はつかないのでしょうか?
以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。
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