『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

微分や積分で使われる記号
δ、∂、d、Δ(ラプラシアンでなくて変量を表す記号でデルタの大文字を見たことがあります)の違いをおしえて頂けませんか。

∂は主に偏微分を
dは主に全微分を
表すと思うのですが他にも使用上の決まりがあるのでしょうか。

読んでいる本で
P+∂Pδx
  ―
  ∂x

という記述がありました。
この∂とδの使い方には特別の意味があるのでしょうか。

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dt 意味」に関するQ&A: d^2r/dt^2の意味

A 回答 (4件)

●下記;『変分原理』・・・ここで最も代表的な用例がありますので,そこから・・・・


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86% …
作用積分I;
  I=∫(t1→t2)L・dt
 この積分範囲はt1のとき位置q(t1),t2のときq(t2)であり,t1≦t≦t2のときに『点q(t1)から点q(t2)に動く曲線C1』を考え,この曲線=経路に沿った積分をしています。積分Iはこの経路に沿った線積分です。

  I=∫[C1:(t1→t2)]{L・dt}=∫[C1]{L・dt}
と経路がC1であることを明示したほうが意味が解るのではないかと思います。

 次に,もう1つの曲線C2;『始点・終点は同じで違う経路』を考えます。
 この積分の変分δIは経路C1での積分I(C1) と経路C2での積分I(C2)との差をとったものです。
 δI=I(C2) - I(C1)
   =∫[C2:(t1→t2)]{L・dt}-∫[C1:(t1→t2)]{L・dt}
   =∫[C2]{L・dt}-∫[C1]{L・dt}

 これを簡単に表すために∂C=C2-C1を記号に使って,
 δI=∫[C2-C1]{L・dt}=∫[∂C]{L・dt}
と書くことも有ります。

 このようにC1,C2,q1(t),q2(t)を定めたので,次のような関係が決まります。

(1)曲線C1,C2はあらかじめ定めたので,時間とともにその形が変わるものではない。(この図形のずれを示すものがδです。)

(2)C1上の点q1(t),C2上の点q2(t)は,tの変化に伴ってそれぞれの曲線上を動いていくが、

 ●始点・終点は同じである。
  始点→t=t1で q1(t1)=q2(t1) ;δq(t1)=0
  終点→t=t2で q1(t2)=q2(t2) ;δq(t2)=0

 ●t1≦t≦t2に対して,C1上の点q1(t)とC2上の点q2(t)が定まる。
  このとき
   δq(t)=q2(t)-q1(t)
 とすればこれはtの関数でえあり,ベクトル的に表すと『C1上の点q1(t) からそれに対して定まるC2上の点q2(t)に引いたベクトル』になる。

 t1≦t≦t2について考えると,すべてのC1上の点について,その点がC2上の点にどのようにずれるかを表す無数のベクトルということになる。
(『C1上の位置』が決まるとδq(t)が1つ決まる=『δq(t)は位置の関数』と考えることもできます。例として適切でないので,ここでは触れません。)
  
一方,dtに対してdq1(t),dq2(t)を考えると,
 dq1(t)/dt;C1上の点q1(t)での接線方向のベクトル
→q1(t)に対してq1(t+dt)=q1(t)+dq1(t)を考えるとこれはC1上の点 ;dq1は同じC1上のq1(t)→q1(t+dt)に引いたベクトル

 dq2(t)/ dt;C2上の点q2(t)の接線方向のベクトル
→q2(t)に対してq2(t+dt)=q2(t)+dq2(t)を考えるとこれはC2上の点;dq2は同じC2上のq2(t)→q2(t+dt)に引いたベクトル

 このようにδq(t)とdq(t),dq2(t)とは全く異なるベクトルです。特にδqはC1上の点からC2上に引いたベクトルであり,このベクトルはC1上の点が決まるとδqがただ1つ決まっているということに注意してください。単に違う記号を用いただけの違いと考えると意味が解らなくなります。

上記URLの記述にある次の2点が注意すべき点です。
●1) この第3式・第4式に関しての次の記述。
『時間tとともに物体が運動する過程の上での微小変位dqとは異なった概念である。』『従って、変分δと時間微分(d/dt)は交換可能である。』
・・・前半は上で示しましたので、後半部分を示します。

 変分δ{dq/dt}の意味を考えると、これはtにおけるC1上のdq1(t)/dtとC2上のdq2(t)/dtとの差をとることです。そうすると,
 δ{dq/dt}={dq2(t)/dt}-{dq1(t)/dt}
 (∵変分はC1上の値とC2上の値の差をとるから)
  =d{q2(t)-q1(t)}/dt
  =d{δq(t)}/dt
となって,『変分δと時間微分(d/dt)は交換可能である。』ことが示せました。

※上記URLでは,これから,q(t)→q(t)+δq(t)ならば,
  dq(t)/dt→d{q(t)+δq(t)}/dt=dq(t)/dt+d{δq(t)}/dt
          =dq(t)/dt+δ{dq(t)/dt} 
 と書き換えられることが証明抜きで書いてあります。 

●2) ラグランジュ関数を求める際の積分で[(∂L/∂qドット)δq](t1→t2)=0となること(δIの積分での最後の行の第1項)
『δq(t1)=δq(t2)=0から第一項は0となる。』を使っています。
[(∂L/∂qドット)δq](t1→t2)
={(∂L/∂qドット)_t2・δq(t2)} - {(∂L/∂qドット)_t1・δq(t1)}
={(∂L/∂qドット)_t2×0} - {(∂L/∂qドット)_t1×0}
=0
で第1項が消えています。その結果,きれいな『ラグランジュ方程式』が得られています。

以下の点についても注意してください。
●3) 積分∫もδと交換可能です。
  δI=∫[C2-C1]{L・dt}
    =∫{L(q2)-L(q1)}・dt
 と表される(同じtのときのC1上のq1(t)に対してLのとる値L(q1(t))とC2上のq2(t)に対してLのとる値L(q2(t))との差をとり,それを全領域で足し合わせればよい。)ので,
    =∫δL・dt
なので,
  δ{∫L・dt}=∫{δL}・dt
とすることができます。

※ 変分原理は,簡単な場合には直接変分を用いて答えまで求めますが,そのように解を求めるのと等価な『ラグランジュ方程式の解を求める』ほうが簡単であり,ラグランジュ方程式から考え始めることが多く,『変分原理を用いてその式が作られている』ことが忘れられている場合が非常に多く有ります。

●全微分と変分
F(x,y)が有ると,
  dF(x,y)=(∂F/∂x)・dx+(∂F/∂y)・dy
ですが,変分にも同じことが言えて,
  δF(x,y)=(∂F/∂x)・δx+(∂F/∂y)・δy
です。
 
質問の『P+(∂P/∂x)・δx』については,
 平面上の点Q(x,y)についての関数P(Q)=P(x,y)があり,さらに二つの曲線C1,C2があって,x軸と平行な直線(δy=0)とこの曲線C1,C2との交点Q1(x,y),Q2(x+δx,y)がとってあり,
P(x+δx,y+δy)でδy=0のときを求めていることになります。
 P(x+δx,y)=P(x,y)+(∂P/∂x)・δx
 
 
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#1です。


δについての補足です。
この文字δ(記号、デルタ)は、非常に小さい微小量、微小な差分を表す記号や特殊な関数の関数名などに使われる記号です。

級数や関数などの収束性を扱う場合(ε-δ論法)、
フルビッツの安定性判別などで、非常に小さい正の定数ε、δを表わす場合、変分法における変分(variation)作用素、
またディラックのデルタ関数δ(t)の関数名の記号、
クロネッカのδijの記号
などにも使われます。

その他詳細は参考URLをご覧下さい。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94
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この回答へのお礼

やはりラウンドは変分用、dは全微分用でしたか。

たしかにデルタ関数や、クロネッカの記号などとしても使われいますね。一つの記号でもいろいろな分野で違ったものを表すために使われているのですね。

変文法は詳しくないのですが、いつか学ぼうと思っているので、心に留めておきます。

御回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/03/03 01:54

Δ、δについて


>Δ;差分
 実際に大きさを持つが、考えている変数xの大きさに対して、それを変化させる大きさΔxが無視できる程度に小さい場合。(|Δx/x|<1)
 主に数値計算時にx=1に対してΔx=0.1や0.01のように実際の大きさを持つが、xに対して十分に小さいとき。
 モデルを用いて考察するときに、実際の大きさΔxを持たせて考えておいて、極限としてΔx→dxと考えたりするのにも用いる。

>δ;変分
 例えば「図形の面積」や「線分の長さ」のようにいくつもの点にたいして1つの値があり、その元の図形がちょっとづつずれた図形の面積や長さを考えその差を考える場合。(図形そのもののずれをδx、それに対する面積の変化などをδS。)
 図形の変化などのように「変数の変域全体で『各点』のずれ」が有って、1つの点でなく「すべての点で場所の関数として変移が指定できる場合」(例;δx)やその全体の変化に対するある量の変化(例;δS=S(図形2)-S(図形1))などの場合に用いる。

 それぞれに意味が違うので、考えるときはその意味に応じたd、∂(ラウンド)、Δ、δを使い分ける。微小量であることは同じ。
 同じ切る道具でもカッターナイフとはさみと包丁とのこぎり。大工さんの小道具箱って感じ。

この回答への補足

御回答ありがとうございます。

読んでいた本の
P+∂Pδx
  ―
  ∂x
はichiro-hotがおっしゃる通り
「元の図形がちょっとづつずれた図形の面積や長さを考えその差」としてδが使われていました。

差分についての記述もわかりやすく、
「そういえば、そういう条件でよくΔを見たなぁ」と納得できました。

しかし、

>「変数の変域全体で『各点』のずれ」が有って、1つの点でなく「すべての点で場所の関数として変移が指定できる場合」

というのが未だはっきりと理解できません。
「場所の関数」というのはどういったものなのでしょうか。
δx以外にも具体的な例を教えていただけるとありがたいです。

もう少しだけ教えて頂けないでしょうか。

補足日時:2009/03/03 01:40
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> ∂は主に偏微分を


偏微分では必ず∂を使います、
「独立変数を2つ以上有する関数」を1つの独立変数で微分する時は必ず∂を使います(ラウンドディ)。
z=f(x,y)
dz={∂f(x,y)/∂x}dx+{∂f(x,y)/∂y}dy
∂f(x,y)/∂x など

>dは主に全微分を
「独立変数が1つの関数」の微分や全微分で使います。
dy=f'(x)dx
dy/dx=f'(x)など

δは正しくは「∂」や「d」や「Δ」を使うべきだと思います。

> 読んでいる本で
> P+∂Pδx
>  ―
>  ∂x
この「δx」は「Δx」または「dx」のどちらかでしょう。
どちらかは、前後の文脈によります。
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Q微分と変微分の違いとは

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関数が一変数だった場合が微分、二変数の場合だったら変微分になるのですか?

けれど微分しようと変微分しようと、計算結果は同じですよね?
f(x,y)=x^2+3yのとき
df/dx=2x
ラウンドdf/ラウンドdx=2x

また全微分では微分、変微分がごちゃまぜになっていますが、どういうことなのでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

独立変数が2つ以上の関数の微分は、偏微分になります。
偏微分は、微分する独立変数でない独立変数は定数として扱って微分を行います。

f(x,y)=x^2+3y
では、独立変数はxとyの2つですから
xの微分は偏微分になります。
xについての偏微分は
∂f(x,y)/∂x=2x
∂f(x,y)/∂x=3
となります。

全微分は
df(x,y)=(∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy
となります。
両辺をdxで割れば
df(x,y)/dx=(∂f(x,y)/∂x)+(∂f(x,y)/∂y)(dy/dx)
両辺をdyで割れば
df(x,y)/dy=(∂f(x,y)/∂x)dx/dy+(∂f(x,y)/∂y)
という式に成りますね。

2つの独立変数の関数を片方の変数を定数と見做して、もう1つの変数で微分するのが偏微分ですね。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

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(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
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その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
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*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

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数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変...続きを読む

Q微積分 dの意味

∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。

Aベストアンサー

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、
とてつもなく小さいxの範囲の場合はΔx(デルタx)、時間tのとてつもなく小さい範囲はΔtと記載します。

それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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