行列式が1とはどういう意味ですか？

群論では行列式が1の場合、
specialという意味でSUとかSOと言われますが、
行列式が1というのはどういう意味があるのでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/07/15 19:40

私としての簡単な理解は、行列は一次変換の係数を表しています。

２次元の座標で考えますと、x－方向とy－方向の基底単位ベクトルe1＝（１０）とe2=（０１）は２ｘ１の列ベクトルで表されますが、これらの代わりにそれらの一次結合を任意の２つの「新しい基底ベクトル」にできます。
例えば、それぞれをθだけ回転したものを新しい基底ベクトルにした場合はe1＝（１０）はe1・Cosθ＋e２・Sinθ）＝（Cosθ　Sinθ）、e２＝（０１）は－e1・Sinθ＋e２・Cosθ＝（－Sinθ　Cosθ）になります。[ただしこれらは２ｘ１の列ベクトルです。]
するとこれらのベクトル間の変換を表す行列は
Cosθ　－Sinθ
Sinθ　　Cosθ
で
列ベクトル
１
０
あるいは
０
１
に掛けたものです。

最初の２つの基底ベクトルが作る正方形の面積は１ですが、新しい２つの基底ベクトルが作る正方形の面積も１になっています。すなわち基底ベクトルの作る面積が変わりません。このときは行列
Cosθ　－Sinθ
Sinθ　　Cosθ
の行列式は「１」です。これは基底のつくる「平行四辺形」の面積の「倍率」が「１」です。

試しに
２　０
０　２
の行列で基底ベクトルを変換してみると、面積は「４倍」になっていますが、行列式も「４」になります。

次に、
１　１
０　１
で変換すると、(１０）－＞（１０）ですが（０１）は（１１）になりそれらの作る「平行四辺形」は面積が「１」で変わりませんが、行列式も「１」です。

SOというのは「直交座標系」を同じ大きさの「直交座標系」に変換する３ｘ３などの行列ですがそれらの行列式は１になっています。３次元の場合は変換後の体積の倍率になっています。

行列
１　０
０　２
などでの変換後の２つの基底がどうなるか、ご自分でいろいろやってみてください。

No.3 回答者： echoes_x86 回答日時： 2009/07/15 19:05

こんばんは．

>群論では行列式が1の場合、
>specialという意味でSUとかSOと言われますが
何か勘違いされていませんか．
「行列式が1」であることは，「その行列がSUやSO元である」ことにならないのですが．
適当な3x3直交行列Qを持ってきて，
V = Q*diag(1,3,1/3)*Q'
とする(diagは対角行列)と，Vの行列式は1ですが，VはSO(3)の元ではありません(AはSL(3)の元ではあります)．

仮に質問内容が「Oの元である行列のAの行列式が1であることは，AがSOの元であると言われますが…」
だとすると，
直感的には，Oの元で行列式が1であるものは
「変換行列と見なしたときに鏡像を生じない」くらいの意味になります．
3次元までは図で書けますので，
行列式が-1の直交行列による変換が鏡像を生じることが確認できると思います．

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/15 09:41

「行列式が１」とは、

その行列の行列式を計算してみると値が１だ
という意味です。
それ以上でも以下でもありません。

n次正方行列の積は、単位的半群 Mat(n) を成します。
Mat(n) は、U(n), O(n) など、様々な部分群を持ちますが、

行列式について |AB| = |A|・|B| が成立しているために、
「行列式が１」であることは積について保存され、
Mat(n) の各部分群の元で「行列式が１」であるもの
を集めた集合は、それぞれの部分群の更に部分群になります。
そこで、SU(n) や SO(n) が登場する訳です。

その辺が、意味といえば意味かな。

No.1 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2009/07/15 08:20

x=1 は「xが1」です。

行列式 |A|=1 は「行列式が1」です。