固有値の値を求めよ。という問に対して固有値λ＝0,1 という値が出た場合は固有値は0と1でいいのでしょうか？固有値に0ってありますか？

固有値が 0 でも問題はありません。行列 A、縦ベクトル u に対して、 Au = λu を満たすλを固有値、u を固有ベクトルといいます（普通、u を大きさ1のベクトルとします）。一般に I を単位行列として |A-λI|=0 として計算します。λ=0 ということは、|A|=0であったということです。

固有値の値について -固有値の値を求めよ。という問に対して固有値λ＝0- 数学

Q行列の固有値

A^2=Aを満たす行列の固有値は0または1であることを示せ。(フロベニウスの定理は使わずに)　という問題なんですがフロベニウスの定理を使わないとなるとどういう方法で示せばいいのでしょうか?
フロベニウスに頼りすぎてよくわかりません；
初めの方だけでも構いませんのでお願いします。

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Aの固有ベクトルをx(≠0)、その固有値をλとしたら、
Ax=λx
が成り立ちます。
A^2=A
から
(A^2) x = A x
A(Ax)=Ax
A(λx)=λx
λAx=λx
(λ^2)x = λx
(λ^2-λ)x=0
でx≠0よりλ=0or1

でいいんじゃないですか？

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以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

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重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

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Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか？
またどのように計算できるのでしょうか？
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます．

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Q行列における固有値、固有ベクトルについて

少しばかり固有値、固有値ベクトルについて、分からないことがあったため質問します。
　
　添付画像に式を示します。

　この式を解くとλ＝１という固有値が出ます。しかし、λ＝１を行列式に代入すると全てが０になり固有値ベクトルを求めることができません。
　回答のページには、途中計算が省かれているため、過程がわかりません。こういった場合には、どう個体値ベクトルを求めれば良いのか、教えてもらえませんか？

Aベストアンサー

ANo.1です．少し補足を．

この問題を行列の対角化ととらえるとそれはすでに解決しています．単位行列は対角行列ですから．

また，固有ベクトルが何かという問題もすでに解決しています．任意の正則行列Pについて

P^{-1}EP=P^{-1}P=E

ですから，固有ベクトルは任意の一次独立ベクトルの最大セットで，任意の正則行列のすべての列ベクトルセットをとればよいです．

x=(s,t)^Tとしたベクトルは任意の2次元ベクトルですが，これのs,tを2組とって一次独立ベクトルを2つ探してもよいです．
例えば(s,t)=(1,1),(1,-1)として

x_1=(1,1)
x_2=(1,-1)

としてもよいです．無数にあります．しかし，求めろと言われればやはりもっとも簡単なのは基本ベクトルの(1,0)^T,(0,1)^Tの２つだということです．

どれをとるかは質問者様の自由です．

ただ，基本ベクトルの考えは物理学（古典力学や量子力学など）のような応用分野では重要です．

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Q線形・非線形って何ですか？

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問：線形、非線型ってどういう意味ですか？』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;

1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。

勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間＋歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）

数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝Ａ（一定）

という規則が成り立つからです。

ｘやｙの例としては昨日の例で言う例１だとｘがガムの個数、ｙが全体の金額、例２だとｘが時間、ｙが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

（ｙの増加量）＝Ａ×（ｘの増加量）・・(1)

ということがわかります。つまり、Ａの値さえわかれば、ｘが増えたときのｙの値が容易に推測できるようになるわけです。

ここで「Ａの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて（下に落ちるにつれて）落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、１秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。（ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです）

数学の問題のように初めから「時速１００kmで走る」とか「１個１００円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Ａの値さえわかれば」の「Ａ」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。（ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか？？）つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。（これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です）つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。

では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか？実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが（もちろん単なる線形よりは難しいですが）できるようになるわけです。

これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。（つまり、非線形のものが多いんです）

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）

数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝...続きを読む

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Q微分可能なのに導関数が不連続？

一般にｍ回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが（本で読みました。）
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続（導関数f'(x)が不連続）なのに滑らか（微分可能）ってのがどうもイメージできないので。

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oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x)　が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x)　が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ）、Bn=1/(2nπ+π/2)　としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(ｎπ) sin(2nπ)-...続きを読む

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Q集積点が、まったく分かりません！！

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Ｘをある位相空間、ＡをＸのある部分集合とします。
x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のＡの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈ＸがＡの集積点であるとは
「xのどんな近くにも（x以外の）Ａの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈ＸがＡの孤立点であるとは
xがＡの要素であり　　…(S1)
かつxのある近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなＡの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈ＡであることはxがＡの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがＡの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Ａの点でないような
Ａの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Ａの要素に対して与えられる概念ですから、Ａに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをＡの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間（ユークリッド空間）での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例（１）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりＡは原点中心半径１の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとＡの集積点（の集合）は
{(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径１の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例（２）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Ａの集積点（の集合）はＡ自身と集合
Ｂ={(0,y)∈Ｘ| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例（３）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａ= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はＡの集積点です。しかしＡ自身の点はすべて孤立点です。

例（４）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａは開区間(0,1)の有理点。すなわち
Ａ= { x∈(0,1)｜xは有理数 }
とします。Ａの集積点（の集合）は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Ｘをある位相空間、ＡをＸのある部分集合とします。
x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

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Q大学院の面接（口述）試験について

2週間後に大学院の試験を受けます。
そこで、2つ質問があるのでご教授ください。

ちなみに、大学→他大学院（専攻も変わります）です。

まず、どのような質問がされるか教えてください。
過去ログを見て

・志望理由
・なぜ、専攻を変えたか
・なぜ、この大学か

などが聞かれると書いてありました。
他にはどのようなことが聞かれるのでしょうか？
時間は、大体20分あるのでたくさん質問されると思うのですが・・・。

次に、自己PRや志望理由等で一言一句暗記してそのまま言うのは印象が悪いとあったのですが、これはどうなのでしょうか。
たしかに、自分が面接官で暗記したのを言われたらあまりよい印象はもてないと思います。
しかし、自己PRや志望理由は暗記しかないと思うのです。

以上、2つお願いします

Aベストアンサー

大学院で専攻が変わりましたので、参考にして下さい。
時間は２０分、面接官は３～４人でした。

まず聞かれたのが志望理由ですが、願書と一緒に小論文として志望理由を書いていましたので、その内容を話しました。
もちろん、一言一句暗記ではありませんが、内容（というか、あらすじ）は小論文と同じです。
先生方は小論文を読みながら聞いていました。
多分、書いてある内容と言っている内容が違った場合はここで突っ込まれるのだと思いました。
丸暗記でない点は、詳しく書かなかった部分を補足して説...続きを読む

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Qy=x^(1/x) の　微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

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Q縮退をわかりやすくお願いします

Ｗｉｋｉをみてもさっぱり何がどうなるのかわかりません。
どなたかわかりやすく、「縮退とは」を教えてください。

Aベストアンサー

超クリソツな男女の双子のきょうだいがいたとしましょう。
2人とも同じくらいハイテンションで、見た目にはさっぱりどっちがどっちか分かりません。「縮退している状態」です。

何とかこいつらを見分けたいと、エサ（エッチなDVD）をちらつかせました。
するとどうでしょう！一方（男）はますます興奮し、他方（女）はあきれ返ってしらけてしまいました。無事、両方の区別がつきましたとさ。

これが、「縮退が解けた」状態です。
ゼーマン分裂で言えば、このエッチなDVDが磁場に相当します。

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