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極値の判定でヘッシアンの値が0になってしまった場合
どのような方法で極値を取るかどうか判定すればいいのか
わからないのですがどのような方法を用いるのでしょうか?

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

ヘッシアンが 0 ということは、ヘッセ行列が固有値 0 を持つ


ということです。0 以外の固有値は、どうなっているでしょうか?

0 でない固有値が全て正なら、停留値は極小。
全て負なら、停留値は極大。
正と負と両方あるなら、停留点は鞍点で、極値ではない。
固有値が 0 のみなら、三次以下の微小項を見て判定する必要がある。

この辺の事情は、一変数関数の場合とよく似ています。

二階偏微分可能な実多変数関数であっても、偏導関数が連続でないと、
ヘッセ行列が対称行列ではないことがあり、その場合、虚数固有値が
表れる可能性がありますから、話しがややこしいですね。
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一般論では簡単に論じられませんので、個別の具体的問題をあげて下さい。



要は、極値の定義に戻って、その点の近傍での最小または最大になる点の値です。
変数をその点からどの方向に変化させても関数値が増加する点、または減少する点の関数の値が極値ですから、ヘッセの行列がゼロになっても、この定義に戻って判定すればいいでしょう。
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