極限値を求める時って、片側極限だけの値じゃ駄目でしたっけ？ eの定義を用いて極限を求める問題なんです

極限値を求める時って、片側極限だけの値じゃ駄目でしたっけ？

eの定義を用いて極限を求める問題なんですがh→+0の場合だけでいいですか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/23 19:25

166(1),(2),(4),(5)はeの定義を用いて極限を求める問題ではありません

(1)f(x)=2^(3x)としたときのf'(0)の定義
(2)f(x)=e^xとしたときの1/f'(0)の定義
(4)f(x)=log{log(x)}としたときのf'(e)の定義
(5)f(x)=e^x-e^(-x)としたときのf'(0)の定義
となっています

(1)
log{2^(3x)}=3xlog2
2^(3x)=e^(3xlog2)

f(x)=2^(3x)=e^(3xlog2)
とすると
f'(x)=(3log2)2^(3x)
だから
f'(0)=3log2
=
f'(0)
=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h
=lim_{h→0}{2^(3h)-1}/h
=lim_{x→0}{2^(3x)-1}/x
だから
lim_{x→0}{2^(3x)-1}/x=3log2

(2)
f(t)=e^t
とすると
f'(t)=e^t
だから
f'(0)=1
=
f'(0)
=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h
=lim_{h→0}{e^h-1}/h
だから
lim_{h→0}{e^h-1}/h=1

lim_{x→1}(logx)/(x-1)
=lim_{h→0}h/(e^h-1)
=1/lim_{h→0}{e^h-1}/h
=1

lim_{x→1}(logx)/(x-1)=1

(4)
f(x)=log{log(x)}
とすると
f'(x)=1/{xlog(x)}
だから
f'(e)=1/e
=
f'(e)
=lim_{h→0}{f(e+h)-f(e)}/h
=lim_{h→0}(log{log(e+h)})/h
=lim_{x→0}(1/x)log{log(x+e)}
だから
lim_{x→0}(1/x)log{log(x+e)}=1/e

(5)
f(x)=e^x-e^(-x)
とすると
f'(x)=e^x+e^(-x)
だから
f'(0)=2
=
f'(0)
=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h
=lim_{h→0}{e^h-e^(-h)}/h
=lim_{x→0}{e^x-e^(-x)}/x
だから
lim_{x→0}{e^x-e^(-x)}/x=2

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/18 08:52

極限には片側も両側もそうでないものも(級数の極限とか)

あるけど、両側のを片側だけですますのはまずい。
でも、元々片側のを片側で計算するのはもちろん問題ない。