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lim[x->1] (x+1)/(x-1)^2
が∞になるはずなんですけど、自分が計算すると

=lim[x->1] (x+1)/(x^2-2x+1)
=lim[x->1] (1/x + 1/x^2)/(1 - 2/x + 1/x^2)
=(1 + 1)/(1 - 2 + 1)
=2/0
=undefined

…になります。
どこでどう間違えているのか教えてください。

A 回答 (6件)

ようは2/0がみそなんです。


lim[x->1]というのはxを1としているのでなくあたかもxを1に限りなくちかづいたとき、どういう値に限りなくちかづきますかということなのです。
だから直接xに1を代入してはだめ。
例えばlim[x->1]x^2は普通にxに1を代入して1が答えですよとなりますが、これは事実上xに1を代入しているのでなくxを限りなく1にちかづけたときx^2はかぎりなく1にちかづきますよという意味。
だからこの場合はxに1を代入しても答えは同じとなる。
lim[x→1](x+1)/(x-1)^2はどうなりますか。
これこそまさにxを1とすると2/0となってこの数字はあり得ません。
じゃあどうするか。xは1付近で

(x+1)/(x-1)^2 >1/(x-1)^2で
lim[x→1]1/(x-1)^2=∞であるから(←xを限りなく1にちかづけると
1/(x-1)^2は限りなく大きくなって∞にちかづく)
とうぜんlim[x→1](x+1)/(x-1)^2は∞だよね。
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この回答へのお礼

なるほど!
2/0は良いとこを突いてたわけですね。

ミソは私的には
(x+1)/(x-1)^2 >1/(x-1)^2
でしょう!
自分は未熟なので、こういう考え方がまだ苦手です。
ポンピング・メソッドっていうのを
昔習ったことがあるんですけど
なんかそれに似ていますね。

これで似たような問題は解けるようになると思います。
ありがとうございました!

お礼日時:2010/03/07 19:46

あれ?


質問のページに戻って
回答 0 件となってたから
投稿しなおしたのに…
一気に 3 件連続投稿に
されてる。とほほ。
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lim[n→] a_n/b_n = (lim a_n)/(lim b_n)


が成立するのは、
lim a_n と lin b_n が
収束する場合だけです。
ここが間違い。

とはいえ、計算は
ほぼ合っています。
分母を →0 より精密に
→+0 と評価すれば、
問題の極限が +∞ である
ことが解るでしょう。
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lim[n→] a_n/b_n = (lim a_n)/(lim b_n)


が成立するのは、
lim a_n と lin b_n が
収束する場合だけです。
ここが間違い。

とはいえ、計算は
ほぼ合っています。
分母を →0 より精密に
→+0 と評価すれば、
問題の極限が +∞ である
ことが解るでしょう。
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lim[n→] a_n/b_n = (lim a_n)/(lim b_n)


が成立するのは、
lim a_n と lin b_n が
収束する場合だけです。
ここが間違い。

とはいえ、計算は
ほぼ合っています。
分母を →0 より精密に
→+0 と評価すれば、
問題の極限が +∞ である
ことが解るでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
その→+0の計算を見せていただけませんか?
正直、実際に見るまでよく分かりません。

お礼日時:2010/03/07 19:22

計算する必要はなく、


分母は、0へ近づき
分子は、2へ近づので、
lim[x->1] (x+1)/(x-1)^2は、

 2 / 小さい数 になっていくので、無限大へ近づいていきます。

たとえば、x = 1.000001を代入すれば、
(x+1)/(x-1)^2 = 2.000001 / 0.000001^2 = 2000001000000

また、
=lim[x->1] (1/x + 1/x^2)/(1 - 2/x + 1/x^2)
=(1 + 1)/(1 - 2 + 1)  ★間違いは、ここ行です。
=2/0
=undefined
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