√(n＋1)-√(n )の極限について。 写真のように解きましたが、ε-n論法を用いた部分が正しいか

√(n＋1)-√(n )の極限について。

写真のように解きましたが、ε-n論法を用いた部分が正しいか心配です。 回答お願いします。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/07/30 05:46

任意のε>0に対して

n_0>1/ε^2
となる自然数n_0がある
↓両辺を(1/2)乗すると
√n_0>1/ε
↓√(n_0+1)+√n_0>√n_0だから
√(n_0+1)+√n_0>1/ε

n>n_0となる任意の自然数nに対して
√n>√n_0
√(n+1)>√(n_0+1)
√(n+1)+√n>√(n_0+1)+√n_0
だから
|√(n+1)-√n|=1/(√(n+1)+√n)<1/(√(n_0+1)+√n_0)<ε

よって
lim_{n→∞}(√(n+1)-√n)=0

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/30 00:48

「問題ない」かどうかは, 結局のところ

なぜわざわざ ε なんてものをもちだしたのか
に依るんだけど, こんなことをさせてるってことはおそらく
極限の定義 (ε-δ とか) を理解してるかどうかを確認したい
わけだ (実際のところ, 全ての極限でいちいちこんなことをするわけじゃない). で, そこに立脚すると, このままではまずい. #1 でも指摘したように
「そのような n_0 がとれる」ことの確認をしていない
わけだから, 場合によっては
ああ, こいつはただ「言葉を表面的にそのまま書いている」だけで定義を理解できてはいないんだな
と認識される可能性がある.

そのように認識されるというのは, 少なくとも記述試験ではまずい... というのは理解できる?

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/30 00:36

大枠の流れは、それでいいんですけどね。

任意の正数 ε に対して √(n0 + 1) + √n0 > 1/ε となる n0 がとれること
の他に、
n > n0 であれば 1/(√(n + 1) + √n) ≦ 1/(√(n0 + 1) + √n0) であること
の理由も書かなければいけません。

両方まとめて、√(n + 1) + √n が単調増加であることを言えば済みます。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/30 00:19

いや, もちろん実際には「そのような n_0」はとれるんですけどね.

ε は 1 より十分小さいと仮定して, かつ f(x) = √x が単調増加であることを仮定していいなら
n_0 > 1/ε^2
とかとればいいので.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。それではこの解答で一応問題ないということでしょうか？

お礼日時：2019/07/30 00:23

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/29 23:46

「任意の ε に対し √(n_0+1) + √(n_0) > 1/ε となる n_0 をとると」

の部分, 本当にそのような n_0 はとれるんですか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。n_0がとれるかどうかの確認はしていませんでした。それで、確認しようとしましたが、反例が思いつきませんでした。

お礼日時：2019/07/29 23:58